Номер 124, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения системы:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 3 + 1$

$2\sqrt{x} = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:

$x = 2^2 = 4$

Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$2 + \sqrt{y} = 3$

$\sqrt{y} = 3 - 2$

$\sqrt{y} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 1^2 = 1$

Проверим найденное решение $(4; 1)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $\sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Верно.

Следовательно, решение системы: $x = 4$, $y = 1$.

Ответ: $(4; 1)$.

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x + y = 13 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$.

Заменим переменные в исходной системе:

$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 5 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^2 + (5 - a)^2 = 13$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 25 - 10a + a^2 = 13$

$2a^2 - 10a + 25 - 13 = 0$

$2a^2 - 10a + 12 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$, $x$ и $y$ для каждого корня $a$.

Случай 1: $a = 2$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 2 = 3$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 4$.

$\sqrt{y} = b = 3 \implies y = 9$.

Получили первую пару решений: $(4; 9)$.

Случай 2: $a = 3$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 3 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x} = a = 3 \implies x = 9$.

$\sqrt{y} = b = 2 \implies y = 4$.

Получили вторую пару решений: $(9; 4)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Проверим их, подставив в исходную систему:

Для $(4; 9)$: $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$ (верно), $4+9=13$ (верно).

Для $(9; 4)$: $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$ (верно), $9+4=13$ (верно).

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 9), (9; 4)$.