Номер 121, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 3$.

Для того чтобы решить это иррациональное уравнение, необходимо избавиться от корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 3^3$

Выполнив возведение в степень, получаем линейное уравнение:

$x+2 = 27$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 27 - 2$

$x = 25$

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но для уверенности выполним проверку. Подставим $x=25$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{25+2} = \sqrt[3]{27} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x-3} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Для решения уравнения возведем обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-3})^4 = 2^4$

$x-3 = 16$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$x = 16 + 3$

$x = 19$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $19 \ge 3$. Условие выполняется. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{19-3} = \sqrt[4]{16} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $19$.

3) Дано уравнение $3 + \sqrt{x+3} = x$.

Для начала уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{x+3} = x-3$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Также, поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (x-3)^2$

$x+3 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Проверим корень $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{6+3} = 3 + \sqrt{9} = 3+3=6$. Правая часть $x=6$. Получаем верное равенство $6=6$.

Ответ: $6$.

4) Дано уравнение $5 + \sqrt{x+1} = x$.

Уединим радикал:

$\sqrt{x+1} = x-5$

Определим ОДЗ. Условия: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ и $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$. Следовательно, ОДЗ для уравнения: $x \ge 5$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2$

$x+1 = x^2 - 10x + 25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 24. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 5$.

Проверим корень $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$5 + \sqrt{8+1} = 5 + \sqrt{9} = 5+3=8$. Правая часть $x=8$. Получаем верное равенство $8=8$.

Ответ: $8$.