Вопросы, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Иррационал теңдеуді шешу барысында қандай теңдеулер шығарылуы мүмкін?

Иррационалды теңдеуді шешудің негізгі әдісі — теңдеудің екі жағын да түбірдің дәрежесіне тең дәрежеге шығару арқылы иррационалдықтан арылу. Бұл түрлендірудің нәтижесінде, әдетте, рационал теңдеу пайда болады. Бастапқы теңдеудің күрделілігіне байланысты келесідей теңдеулердің түрлері шығуы мүмкін:

• Сызықтық теңдеулер: Айнымалы бірінші дәрежеде болатын теңдеулер. Мысалы, $\sqrt{x - 2} = 3$ теңдеуін шешкенде, екі жағын квадраттағаннан кейін $x - 2 = 9$ деген сызықтық теңдеу аламыз, оның шешімі $x = 11$.
• Квадраттық теңдеулер: Айнымалы екінші дәрежеде болатын теңдеулер. Мысалы, $\sqrt{x + 7} = x + 1$ теңдеуінде екі жағын квадраттасақ, $x + 7 = (x + 1)^2$ болады, бұл $x^2 + x - 6 = 0$ квадраттық теңдеуіне әкеледі.
• Жоғары дәрежелі теңдеулер: Айнымалының дәрежесі екіден жоғары болатын теңдеулер (кубтық, биквадраттық және т.б.). Мысалы, $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 5} = x$ теңдеуін кубтағанда, $x^3 + x^2 - 5 = x^3$, яғни $x^2 - 5 = 0$ теңдеуі шығады.

Сонымен, иррационал теңдеуді шешу процесінде оны рационал теңдеуге (көбінесе бүтін рационал, яғни көпмүшелік теңдеуге) келтіреміз.

Ответ: Иррационал теңдеуді шешу барысында сызықтық, квадраттық немесе одан да жоғары дәрежелі көпмүшелік теңдеулер сияқты рационал теңдеулер шығарылуы мүмкін.

2. Иррационал теңдеулерді шешу кезінде неліктен айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына назар аударылады?

Иррационал теңдеулерді шешу кезінде айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына (ММЖ) назар аудару өте маңызды, себебі бұл екі негізгі мәселенің алдын алады:

1.Түбір астындағы өрнектің анықталу облысы. Жұп дәрежелі түбірдің (мысалы, квадрат түбір) астындағы өрнек теріс емес болуы керек. Мысалы, $\sqrt{f(x)}$ өрнегі тек $f(x) \ge 0$ болғанда ғана анықталады. Егер табылған шешім осы шартты қанағаттандырмаса, ол теңдеудің түбірі бола алмайды. Сонымен қатар, $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$ түріндегі теңдеуде арифметикалық түбірдің мәні теріс емес болғандықтан, $g(x) \ge 0$ шарты да орындалуы тиіс.

2.Бөгде түбірлердің пайда болуы. Иррационал теңдеулерді шешу үшін жиі қолданылатын әдіс — теңдеудің екі жағын да жұп дәрежеге шығару. Бұл амал мәндес емес түрлендіру болып табылады. Яғни, $A = B$ теңдеуінен $A^2 = B^2$ теңдеуі шығады, бірақ керісінше дұрыс емес. $A^2 = B^2$ теңдеуі $A = B$ және $A = -B$ теңдеулерінің жиынтығына мәндес. Сондықтан, дәрежеге шығарғаннан кейін пайда болған теңдеудің түбірлерінің ішінде бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайтын "бөгде" түбірлер болуы мүмкін.

Мысал қарастырайық: $\sqrt{x + 3} = x + 1$.
ММЖ шарттары: $x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$ және $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Демек, $x \ge -1$.
Теңдеудің екі жағын квадраттаймыз: $x + 3 = (x + 1)^2 \Rightarrow x + 3 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$.
Бұл квадраттық теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -2$.
Енді табылған түбірлерді ММЖ ($x \ge -1$) шартымен тексереміз:
- $x_1 = 1$ шартын қанағаттандырады ($1 \ge -1$), сондықтан бұл — нақты түбір.
- $x_2 = -2$ шартын қанағаттандырмайды ($-2 < -1$), сондықтан бұл — бөгде түбір.

Осы себептерге байланысты иррационал теңдеулерді шешкенде табылған түбірлерді міндетті түрде не ММЖ арқылы, не бастапқы теңдеуге қойып тексеру қажет.

Ответ: Айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына назар аудару керек, өйткені жұп дәрежелі түбір астындағы өрнек теріс болмауы тиіс және теңдеудің екі жағын жұп дәрежеге шығарғанда бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайтын бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. ММЖ бөгде түбірлерді анықтап, оларды нақты шешімдерден ажыратуға көмектеседі.