Номер 136, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x + y = 12. \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения определяется условием $\frac{2x-1}{y+2} > 0$. Это означает, что выражения $2x-1$ и $y+2$ должны быть одного знака (оба больше нуля или оба меньше нуля).

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}}$. Так как корень арифметический, то $t > 0$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x-1}{y+2} = 1$

$2x-1 = y+2$

$2x - y = 3$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ x + y = 12. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$:

$(2x - y) + (x + y) = 3 + 12$

$3x = 15$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы $x+y=12$:

$5 + y = 12$

$y = 7$

Получили решение $(5; 7)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ.

$2x-1 = 2(5) - 1 = 9 > 0$

$y+2 = 7 + 2 = 9 > 0$

Так как оба выражения положительны, их отношение положительно, и решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(5; 7)$

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{cases} $

ОДЗ первого уравнения: $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это означает, что $x$ и $x+y$ должны быть одного знака.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Тогда $t > 0$, и уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны, поэтому рассматриваем два случая.

Преобразуем второе уравнение системы для удобства:

$xy - x - y = 0$

$xy - x - y + 1 = 1$

$(x-1)(y-1) = 1$

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2 \implies \frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4(x+y) \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим $x=2y$ в преобразованное второе уравнение:

$(2y - 1)(y - 1) = 1$

$2y^2 - 2y - y + 1 = 1$

$2y^2 - 3y = 0$

$y(2y - 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=\frac{3}{2}$.

Если $y=0$, то $x = 2 \cdot 0 = 0$. Пара $(0; 0)$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель $x+y$ обращается в ноль.

Если $y=\frac{3}{2}$, то $x = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Проверим пару $(3; \frac{3}{2})$ по ОДЗ: $x=3 > 0$, $x+y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} > 0$. Условие ОДЗ выполнено. Это решение.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$

$\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x+y \implies y = 23x$.

Подставим $y=23x$ в преобразованное второе уравнение:

$(x - 1)(23x - 1) = 1$

$23x^2 - x - 23x + 1 = 1$

$23x^2 - 24x = 0$

$x(23x - 24) = 0$

Отсюда $x=0$ или $x=\frac{24}{23}$.

Если $x=0$, то $y = 23 \cdot 0 = 0$. Как и в первом случае, пара $(0; 0)$ не является решением.

Если $x=\frac{24}{23}$, то $y = 23 \cdot \frac{24}{23} = 24$. Проверим пару $(\frac{24}{23}; 24)$ по ОДЗ: $x=\frac{24}{23} > 0$, $x+y = \frac{24}{23} + 24 > 0$. Условие ОДЗ выполнено. Это решение.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; \frac{3}{2})$, $(\frac{24}{23}; 24)$