Номер 142, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{2x-1} > x-2$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 2 < 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x - 1 > (x - 2)^2 \end{cases} \end{array} \right. $

Решим первую систему:

$ \begin{cases} x < 2 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases} $

Решением первой системы является промежуток $x \in [\frac{1}{2}, 2)$.

Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x \ge 2 \\ 2x - 1 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x^2 - 6x + 5 < 0 \end{cases} $

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется при $x \in (1, 5)$.

Пересекая это решение с условием $x \ge 2$, получаем $x \in [2, 5)$.

Объединим решения обеих систем: $[\frac{1}{2}, 2) \cup [2, 5) = [\frac{1}{2}, 5)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 5)$.

2) $\sqrt{2x+1} < x-1$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x - 1 > 0 \\ 2x + 1 < (x - 1)^2 \end{cases} $

Решим эту систему поэтапно:

$ \begin{cases} 2x \ge -1 \\ x > 1 \\ 2x + 1 < x^2 - 2x + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{2} \\ x > 1 \\ x^2 - 4x > 0 \end{cases} $

Решим неравенство $x^2 - 4x > 0$. Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1=0$, $x_2=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:

$ \begin{cases} x \in [-\frac{1}{2}, \infty) \\ x \in (1, \infty) \\ x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \end{cases} $

Объединение первых двух условий дает $x > 1$. Пересекая $(1, \infty)$ с $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$, получаем $x \in (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

3) $x+2 < \sqrt{x+14}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, что эквивалентно $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Оно равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x + 2 < 0 \\ x + 14 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ (x + 2)^2 < x + 14 \end{cases} \end{array} \right. $

Решим первую систему:

$ \begin{cases} x < -2 \\ x \ge -14 \end{cases} $

Решением первой системы является промежуток $x \in [-14, -2)$.

Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 4x + 4 < x + 14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases} $

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -5$, $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$ выполняется при $x \in (-5, 2)$.

Пересекая это решение с условием $x \ge -2$, получаем $x \in [-2, 2)$.

Объединим решения обеих систем: $[-14, -2) \cup [-2, 2) = [-14, 2)$.

Ответ: $x \in [-14, 2)$.

4) $x-3 < \sqrt{x+27}$

Это неравенство вида $g(x) < \sqrt{f(x)}$, что эквивалентно $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Оно равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 3 < 0 \\ x + 27 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ (x - 3)^2 < x + 27 \end{cases} \end{array} \right. $

Решим первую систему:

$ \begin{cases} x < 3 \\ x \ge -27 \end{cases} $

Решением первой системы является промежуток $x \in [-27, 3)$.

Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 6x + 9 < x + 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3 \\ x^2 - 7x - 18 < 0 \end{cases} $

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = 9$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 7x - 18 < 0$ выполняется при $x \in (-2, 9)$.

Пересекая это решение с условием $x \ge 3$, получаем $x \in [3, 9)$.

Объединим решения обеих систем: $[-27, 3) \cup [3, 9) = [-27, 9)$.

Ответ: $x \in [-27, 9)$.