Номер 147, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Данное неравенство является частным случаем неравенства о средних степенных, которое утверждает, что среднее степенное порядка 3 (кубическое среднее) не меньше среднего арифметического (среднее степенное порядка 1). Докажем это неравенство с помощью элементарных преобразований.

Исходное неравенство:

$$ \sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}} \ge \frac{x+y}{2} $$

Поскольку по условию $x > 0$ и $y > 0$, обе части неравенства положительны. Мы можем возвести обе части в куб, не меняя знака неравенства:

$$ \left(\sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}}\right)^3 \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^3 $$

$$ \frac{x^3 + y^3}{2} \ge \frac{(x+y)^3}{8} $$

Раскроем куб суммы в правой части по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$$ \frac{x^3 + y^3}{2} \ge \frac{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}{8} $$

Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 4(x^3 + y^3) \ge x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

$$ 4x^3 + 4y^3 \ge x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ (4x^3 - x^3) + (4y^3 - y^3) - 3x^2y - 3xy^2 \ge 0 $$

$$ 3x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 3y^3 \ge 0 $$

Разделим обе части на 3:

$$ x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \ge 0 $$

Теперь сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$$ (x^3 - x^2y) + (y^3 - xy^2) \ge 0 $$

$$ x^2(x-y) - y^2(x-y) \ge 0 $$

$$ (x^2 - y^2)(x-y) \ge 0 $$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$$ (x-y)(x+y)(x-y) \ge 0 $$

$$ (x+y)(x-y)^2 \ge 0 $$

Проанализируем полученное неравенство:

1. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то их сумма $(x+y)$ также будет положительной: $(x+y) > 0$.
2. Выражение $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-y)^2 \ge 0$.

Произведение положительного числа $(x+y)$ на неотрицательное число $(x-y)^2$ всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $(x+y)(x-y)^2 \ge 0$ является верным для любых $x > 0, y > 0$.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также является верным. Равенство достигается, когда $(x-y)^2 = 0$, то есть при $x = y$.

Ответ: Неравенство доказано. Все преобразования являются равносильными, и мы пришли к очевидно верному неравенству $(x+y)(x-y)^2 \ge 0$ для $x>0, y>0$.