Номер 153, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = 1 + x^7$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (1 + x^7)' = 7x^6$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $7x^6 = 0$, откуда $x=0$.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 7x^6 \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков убывания нет.

2) Дана функция $f(x) = 2 - x^{-10} = 2 - \frac{1}{x^{10}}$.

Область определения функции: $x^{10} \ne 0$, то есть $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - x^{-10})' = -(-10)x^{-11} = 10x^{-11} = \frac{10}{x^{11}}$.

Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $x < 0$, тогда $x^{11} < 0$, и $f'(x) = \frac{10}{x^{11}} < 0$. Функция убывает.

На интервале $(0; \infty)$: $x > 0$, тогда $x^{11} > 0$, и $f'(x) = \frac{10}{x^{11}} > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

3) Дана функция $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}} = 3 + \sqrt[9]{x}$.

Корень нечетной степени определен для всех действительных чисел, поэтому область определения функции $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (3 + x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$.

Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$.

Определим знак производной. Знаменатель $9\sqrt[9]{x^8} = 9(\sqrt[9]{x})^8$ положителен для всех $x \ne 0$, так как $x^8$ всегда неотрицательно. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, она возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков убывания нет.

4) Дана функция $f(x) = 4 - x^{\frac{11}{16}} = 4 - \sqrt[16]{x^{11}}$.

Корень четной степени (16) определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(f) = [0; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (4 - x^{\frac{11}{16}})' = -\frac{11}{16}x^{\frac{11}{16}-1} = -\frac{11}{16}x^{-\frac{5}{16}} = -\frac{11}{16\sqrt[16]{x^5}}$.

Производная не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая является концом области определения.

Для всех $x > 0$, $\sqrt[16]{x^5} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$.

Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; \infty)$, промежутков возрастания нет.

5) Дана функция $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}} = 5 - \sqrt[15]{x^{13}}$.

Корень нечетной степени (15) определен для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (5 - x^{\frac{13}{15}})' = -\frac{13}{15}x^{\frac{13}{15}-1} = -\frac{13}{15}x^{-\frac{2}{15}} = -\frac{13}{15\sqrt[15]{x^2}}$.

Производная не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$.

Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$, и $\sqrt[15]{x^2} > 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \ne 0$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, она убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков возрастания нет.

6) Дана функция $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}} = \sqrt[13]{(-x)^{11}}$.

Поскольку корень нечетной степени (13) определен для любого действительного числа под корнем, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; \infty)$. Функцию можно упростить: $f(x) = \sqrt[13]{(-1)^{11}x^{11}} = \sqrt[13]{-x^{11}} = -\sqrt[13]{x^{11}} = -x^{\frac{11}{13}}$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^{\frac{11}{13}})' = -\frac{11}{13}x^{\frac{11}{13}-1} = -\frac{11}{13}x^{-\frac{2}{13}} = -\frac{11}{13\sqrt[13]{x^2}}$.

Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$ и $\sqrt[13]{x^2} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$.

Функция непрерывна в $x=0$ и убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, следовательно, она убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков возрастания нет.

7) Дана функция $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{7}{8}}} = \frac{1}{\sqrt[8]{(-x)^7}}$.

Подкоренное выражение для корня четной степени (8) должно быть неотрицательным: $(-x)^7 \ge 0$. Так как степень нечетная, это эквивалентно $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0)$.

Найдем производную по правилу дифференцирования сложной функции: $f'(x) = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{7}{8}-1} \cdot (-x)' = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{15}{8}} \cdot (-1) = \frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{(-x)^{15}}}$.

На области определения $(-\infty; 0)$, имеем $-x > 0$. Тогда $(-x)^{15} > 0$ и $\sqrt[8]{(-x)^{15}} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, промежутков убывания нет.

8) Дана функция $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{11}}} = \frac{1}{\sqrt[11]{(-x)^8}}$.

Корень нечетной степени (11) определен для любого действительного аргумента. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt[11]{(-x)^8} \ne 0$, что означает $(-x)^8 \ne 0$, то есть $x \ne 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{8}{11}-1} \cdot (-x)' = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{19}{11}} \cdot (-1) = \frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} = \frac{8}{11\sqrt[11]{(-x)^{19}}}$.

Знак производной зависит от знака $(-x)^{19}$, то есть от знака $-x$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $-x > 0$, тогда $(-x)^{19} > 0$ и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(0; \infty)$: $-x < 0$, тогда $(-x)^{19} < 0$ и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, убывает на промежутке $(0; \infty)$.

9) Дана функция $f(x) = (-x + 0.5)^{-\frac{11}{17}} = \frac{1}{\sqrt[17]{(-x+0.5)^{11}}}$.

Корень нечетной степени (17) определен для любого действительного аргумента. Знаменатель не должен быть равен нулю: $-x+0.5 \ne 0$, то есть $x \ne 0.5$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; \infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{11}{17})(-x+0.5)^{-\frac{11}{17}-1} \cdot (-x+0.5)' = (-\frac{11}{17})(-x+0.5)^{-\frac{28}{17}} \cdot (-1) = \frac{11}{17}(-x+0.5)^{-\frac{28}{17}} = \frac{11}{17\sqrt[17]{(-x+0.5)^{28}}}$.

В знаменателе выражение $(-x+0.5)^{28}$ всегда положительно для $x \ne 0.5$, так как степень 28 четная. Корень 17-й степени из положительного числа положителен.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0.5)$ и $(0.5; \infty)$, промежутков убывания нет.