Номер 156, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.
Общий вид степенной функции — $y = x^a$, где $a$ — показатель степени. Чтобы функция возрастала, её производная на данном промежутке должна быть неотрицательной, то есть $y' \ge 0$.
Производная функции $y = x^a$ находится по формуле $y' = a \cdot x^{a-1}$.
На промежутке $x \in [0; +\infty)$ переменная $x$ неотрицательна. Если показатель $a$ является положительным числом ($a > 0$), то и выражение $a \cdot x^{a-1}$ будет неотрицательным (при $x>0$ оно положительно, а в точке $x=0$ может быть равно 0 или не определено, но функция остается непрерывной). Следовательно, для возрастания функции достаточно, чтобы показатель степени $a$ был положительной дробью.
В качестве примера выберем $a = 2/3$.
Функция имеет вид $y = x^{2/3}$ или $y = \sqrt[3]{x^2}$. Эта функция определена для всех $x \ge 0$.
Её производная: $y' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
При $x > 0$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает на $(0; +\infty)$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всём промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: Например, $y = x^{2/3}$.

2) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на промежутке $x \in (0; +\infty)$.
Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Чтобы функция $y=x^a$ возрастала на промежутке, где $x > 0$, её производная $y' = a \cdot x^{a-1}$ должна быть положительной.
Поскольку $x > 0$, множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Поэтому знак производной определяется знаком показателя $a$. Для возрастания функции необходимо, чтобы $a > 0$.
В качестве примера возьмем положительное дробное число $a = 3/4$.
Функция имеет вид $y = x^{3/4}$ или $y = \sqrt[4]{x^3}$. Эта функция определена на промежутке $(0; +\infty)$.
Её производная: $y' = \frac{3}{4}x^{3/4-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
На промежутке $x \in (0, +\infty)$ корень $\sqrt[4]{x}$ положителен, поэтому $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на этом промежутке.
Ответ: Например, $y = x^{3/4}$.

3) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на всей числовой прямой, то есть при $x \in R$.
Пусть функция имеет вид $y = x^a = x^{m/n}$, где $m/n$ — несократимая дробь.
1. Для того чтобы функция была определена для всех действительных чисел (включая отрицательные), знаменатель показателя $n$ должен быть нечётным числом.
2. Для того чтобы функция возрастала на $R$, её производная $y' = a x^{a-1}$ должна быть неотрицательной ($y' \ge 0$) для всех $x \in R$.
Распишем производную: $y' = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n}}$.
Для возрастания функции (хотя бы для $x>0$) необходимо, чтобы $a = m/n > 0$. Так как $n$ — положительное нечётное число, то и числитель $m$ должен быть положительным.
Знак производной зависит от знака множителя $x^{\frac{m-n}{n}} = \sqrt[n]{x^{m-n}}$. Так как $n$ — нечётное, знак этого выражения совпадает со знаком $x^{m-n}$. Чтобы производная была неотрицательной для всех $x$, выражение $x^{m-n}$ должно быть неотрицательным. Это выполняется, если показатель $m-n$ является неотрицательным чётным целым числом.
Итак, нам нужна дробь $a = m/n$ такая, что $n$ — нечётное, $m$ — нечётное (так как $m = n + \text{чётное}$), и $m > n$.
Выберем $n=3$ и $m=5$. Тогда $a = 5/3$.
Функция $y = x^{5/3}$ определена на $R$.
Её производная: $y' = \frac{5}{3}x^{5/3-1} = \frac{5}{3}x^{2/3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.
Для любого $x \in R$, выражение $x^2 \ge 0$, следовательно $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Так как $5/3 > 0$, то $y' \ge 0$ для всех $x \in R$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция $y = x^{5/3}$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Например, $y = x^{5/3}$.