Номер 154, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = x^4 + 2$

Для того чтобы найти интервалы монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких промежутках она положительна (функция возрастает) и на каких отрицательна (функция убывает).

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 = 0$

$x = 0$

Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например, $x=-1$, имеем $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (0, +\infty)$, например, $x=1$, имеем $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

В точке $x=0$ функция имеет минимум. Значение функции в этой точке: $f(0) = 0^4 + 2 = 2$.

График функции $y = x^4 + 2$ получается из графика $y=x^4$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^3 - 3$

Найдем интервалы монотонности, исследуя знак производной.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - 3)' = 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Выражение $f'(x) = 3x^2$ неотрицательно ($ \ge 0$) для всех действительных значений $x$. Оно равно нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция не убывает ни на одном промежутке. Так как производная равна нулю в одной точке, а в остальных точках положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

График функции $y = x^3 - 3$ получается из графика кубической параболы $y=x^3$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка $(0, -3)$ является точкой перегиба.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$

Функцию можно представить в виде $f(x) = 1 - \sqrt{x}$.

Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (1 - x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для всех $x > 0$.

Для любого $x$ из интервала $(0, +\infty)$, знаменатель $2\sqrt{x}$ является положительным числом. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна. Из-за знака "минус" перед дробью, производная $f'(x)$ будет отрицательной на всем интервале $(0, +\infty)$.

$f'(x) < 0$ при $x > 0$.

Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

График функции — это ветвь параболы $y=-\sqrt{x}$, смещенная на 1 единицу вверх по оси Oy. Он начинается в точке $(0, 1)$ и идет вниз.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $f(x) = -1 + x^{-\frac{1}{3}}$

Функцию можно записать в виде $f(x) = -1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

Область определения функции: знаменатель дроби не может быть равен нулю, $\sqrt[3]{x} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (-1 + x^{-1/3})' = 0 - \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$.

Знаменатель $3\sqrt[3]{x^4} = 3(\sqrt[3]{x})^4$ всегда положителен при любом $x \neq 0$, так как любое ненулевое число в четвертой степени положительно.

Следовательно, производная $f'(x)$ всегда отрицательна на всей области определения функции.

Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$ (так как $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 0$).

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.