Номер 160, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения неопределенного интеграла функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ представим ее в виде степенной функции. Учитывая, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, имеем:$f(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.Теперь используем основную формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:$\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$.
Ответ: $\sqrt{x} + C$.

2) Представим функцию $f(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^3}}$ в виде степенной функции. В стандартной математической записи выражение $3\sqrt{x^3}$ означает произведение $3 \cdot \sqrt{x^3}$. Учитывая, что $\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$, получаем:$f(x) = \frac{2}{3x^{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}$.Найдем ее неопределенный интеграл по формуле для степенной функции:$\int \frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3} \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} + C = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} \cdot (-2)x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{4}{3}x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{4}{3\sqrt{x}} + C$.
Ответ: $-\frac{4}{3\sqrt{x}} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{5}}$ найдем неопределенный интеграл, используя ту же формулу:$\int \frac{3}{4}x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{15}{36}x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{5}{12}x^{\frac{9}{5}} + C$.Результат также можно представить в виде корня: $\frac{5}{12}\sqrt[5]{x^9} + C$.
Ответ: $\frac{5}{12}x^{\frac{9}{5}} + C$.

4) Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$:$\int x^{-\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{-\frac{7}{8}+1}}{-\frac{7}{8}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{8}}}{\frac{1}{8}} + C = 8x^{\frac{1}{8}} + C$.Результат также можно представить в виде корня: $8\sqrt[8]{x} + C$.
Ответ: $8x^{\frac{1}{8}} + C$.