Номер 163, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Даны кривые: $y=\sqrt{x}$, $y=1$, $x=9$.

Для нахождения области интегрирования определим точки пересечения кривых. Найдем точку пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=1$:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, кривые пересекаются в точке $(1, 1)$.

Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена сверху кривой $y=\sqrt{x}$, снизу прямой $y=1$, слева прямой $x=1$ и справа прямой $x=9$.

Графическое представление фигуры:

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — функция, ограничивающая фигуру сверху, а $g(x)$ — снизу.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 1$, а пределы интегрирования — от $a=1$ до $b=9$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{1}^{9} (\sqrt{x} - 1) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sqrt{x} - 1) dx = \int (x^{1/2} - 1) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - x = \frac{x^{3/2}}{3/2} - x = \frac{2}{3}x^{3/2} - x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x \right]_{1}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 9\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - 1\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 9\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = (18 - 9) - \left(-\frac{1}{3}\right) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$.

Ответ: $ \frac{28}{3} $

2)

Даны кривые: $y=\frac{1}{x^2}$, $y=1$, $x=-3$, $x=-2$.

Рассмотрим поведение функций на отрезке $[-3, -2]$. Для любого $x$ из этого отрезка $x^2$ находится в диапазоне $[4, 9]$, следовательно, $\frac{1}{x^2}$ находится в диапазоне $[\frac{1}{9}, \frac{1}{4}]$.

Поскольку на всем отрезке $[-3, -2]$ выполняется неравенство $\frac{1}{x^2} \le 1$, кривая $y=\frac{1}{x^2}$ расположена ниже прямой $y=1$.

Таким образом, фигура ограничена сверху прямой $y=1$, снизу кривой $y=\frac{1}{x^2}$, слева прямой $x=-3$ и справа прямой $x=-2$.

Графическое представление фигуры:

Площадь фигуры вычисляется по той же формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$.

Здесь $f(x) = 1$ (верхняя граница), $g(x) = \frac{1}{x^2}$ (нижняя граница), а пределы интегрирования — от $a=-3$ до $b=-2$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Находим первообразную:

$\int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-2+1}}{-1} = x + \frac{1}{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{-3}^{-2} = \left(-2 + \frac{1}{-2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{-3}\right)$

$S = \left(-2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-3 - \frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{2} - \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{-15 + 20}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $ \frac{5}{6} $