Номер 166, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} + x$.

Используя свойство аддитивности интеграла, можем записать: $F(x) = \int (\sqrt{x} + x)dx = \int x^{1/2}dx + \int xdx$.

По таблице первообразных для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем: $\int x^{1/2}dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. $\int xdx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Таким образом, первообразная для $f(x)$ равна $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x)dx = \left( \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{1}^{9} = \left( \frac{2}{3}(9)^{3/2} + \frac{9^2}{2} \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{1^2}{2} \right)$.

Вычислим значения в точках 9 и 1: $F(9) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3}(3)^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{81}{2} = 18 + 40,5 = 58,5$. $F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.

Найдем разность: $F(9) - F(1) = 58,5 - \frac{7}{6} = \frac{117}{2} - \frac{7}{6} = \frac{351}{6} - \frac{7}{6} = \frac{344}{6} = \frac{172}{3}$.

Ответ: $\frac{172}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx$ воспользуемся формулой для интегрирования сложной функции вида $(kx+b)^n$.

Первообразная для функции $f(x) = (kx+b)^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.

В нашем случае $k = 0,25 = \frac{1}{4}$, $b=3$, $n=3$. $F(x) = \int (0,25x + 3)^3 dx = \frac{(0,25x + 3)^{3+1}}{0,25 \cdot (3+1)} = \frac{(0,25x + 3)^4}{0,25 \cdot 4} = (0,25x + 3)^4$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx = \left( (0,25x + 3)^4 \right) \bigg|_{-1}^{1} = (0,25 \cdot 1 + 3)^4 - (0,25 \cdot (-1) + 3)^4$.

Вычислим значения: $(0,25 + 3)^4 - (-0,25 + 3)^4 = (3,25)^4 - (2,75)^4$.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $3,25 = \frac{13}{4}$ и $2,75 = \frac{11}{4}$. $(\frac{13}{4})^4 - (\frac{11}{4})^4 = \frac{13^4}{4^4} - \frac{11^4}{4^4} = \frac{13^4 - 11^4}{4^4}$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $13^4 - 11^4 = (13^2)^2 - (11^2)^2 = (13^2 - 11^2)(13^2 + 11^2) = ((13-11)(13+11))(169+121) = (2 \cdot 24)(290) = 48 \cdot 290 = 13920$. Знаменатель равен $4^4 = 256$.

Получаем дробь $\frac{13920}{256}$. Сократим её: $\frac{13920}{256} = \frac{6960}{128} = \frac{3480}{64} = \frac{1740}{32} = \frac{870}{16} = \frac{435}{8}$.

Ответ: $\frac{435}{8}$.