Номер 173, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана функция: $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi$.

Сначала упростим выражение для функции. Используем свойства степеней:

$\sqrt{3x} = (3x)^{1/2} = 3^{1/2}x^{1/2}$.

$2x\sqrt{3x} = 2x \cdot 3^{1/2}x^{1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1+1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}$.

Теперь подставим это в кубический корень:

$\sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}} = (2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2})^{1/3} = (2 \cdot 3^{1/2})^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3} = 2^{1/3} \cdot 3^{(1/2) \cdot (1/3)} \cdot x^{(3/2) \cdot (1/3)} = 2^{1/3} \cdot 3^{1/6} \cdot x^{1/2}$.

Упростим константу: $2^{1/3} \cdot 3^{1/6} = (2^2)^{1/6} \cdot 3^{1/6} = 4^{1/6} \cdot 3^{1/6} = (4 \cdot 3)^{1/6} = 12^{1/6} = \sqrt[6]{12}$.

Таким образом, упрощенная функция имеет вид: $f(x) = \sqrt[6]{12}x^{1/2} + \pi$.

Теперь найдем общий вид первообразной для этой функции, то есть вычислим ее неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (\sqrt[6]{12}x^{1/2} + \pi) dx = \int \sqrt[6]{12}x^{1/2} dx + \int \pi dx$.

Применяем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int \sqrt[6]{12}x^{1/2} dx = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x^{3/2}$.

Интеграл от константы: $\int \pi dx = \pi x$.

Общий вид первообразной равен сумме полученных выражений и произвольной постоянной $C$:

$F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x^{3/2} + \pi x + C$.

Выражение $x^{3/2}$ можно также записать как $x\sqrt{x}$:

$F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x\sqrt{x} + \pi x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x\sqrt{x} + \pi x + C$.

2)

Дана функция: $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$.

Сначала упростим функцию, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{3x^2}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$.

Учитывая, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, преобразуем степени:

$f(x) = 3x^{2-1/2} - x^{1-1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2} = 3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}$.

Теперь найдем общий вид первообразной для этой функции:

$F(x) = \int (3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}) dx$.

Вычислим интеграл почленно:

$F(x) = \int 3x^{3/2} dx - \int x^{1/2} dx + \int x^{-1/2} dx - \int \sqrt{2} dx$.

Применяем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 3x^{3/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = 3 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{6}{5}x^{5/2}$.

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}$.

$\int \sqrt{2} dx = \sqrt{2}x$.

Объединяем все результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.

Для более наглядного представления, запишем результат с использованием корней:

$x^{5/2} = x^2\sqrt{x}$, $x^{3/2} = x\sqrt{x}$, $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

$F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.