Номер 171, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для функции $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ сначала упростим выражение, представив его в виде степени $x$.
Внутренний корень: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Выражение под внешним корнем: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Вся функция: $y = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{(3/2) \cdot (1/2)} = x^{3/4}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{3/4 - 1} = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.
Производную также можно записать в виде $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{2x}}$ также сначала упростим выражение.
Знаменатель: $x\sqrt[3]{2x} = x \cdot (2x)^{1/3} = x \cdot 2^{1/3} \cdot x^{1/3} = 2^{1/3} \cdot x^{1 + 1/3} = 2^{1/3}x^{4/3}$.
Тогда функция имеет вид: $y = \frac{1}{2^{1/3}x^{4/3}} = 2^{-1/3}x^{-4/3}$.
Теперь найдем производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (2^{-1/3}x^{-4/3})' = 2^{-1/3} \cdot (x^{-4/3})' = 2^{-1/3} \cdot (-\frac{4}{3})x^{-4/3 - 1} = -\frac{4}{3}2^{-1/3}x^{-7/3}$.

Ответ: $y' = -\frac{4}{3}2^{-1/3}x^{-7/3}$.

3) Для функции $y = \frac{1 + 2x - x^4}{x\sqrt{x}}$ преобразуем ее, разделив числитель на знаменатель.
Сначала упростим знаменатель: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{1}{x^{3/2}} + \frac{2x}{x^{3/2}} - \frac{x^4}{x^{3/2}} = x^{-3/2} + 2x^{1 - 3/2} - x^{4 - 3/2} = x^{-3/2} + 2x^{-1/2} - x^{5/2}$.
Теперь дифференцируем получившуюся сумму степенных функций:
$y' = (x^{-3/2})' + (2x^{-1/2})' - (x^{5/2})' = -\frac{3}{2}x^{-3/2 - 1} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} - \frac{5}{2}x^{5/2 - 1}$
$y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

4) Функция $y = x^{-\sqrt{7}}$ является степенной функцией вида $y = x^n$, где показатель степени $n = -\sqrt{7}$ является постоянным числом.
Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{-\sqrt{7}})' = -\sqrt{7} \cdot x^{-\sqrt{7} - 1}$.

Ответ: $y' = -\sqrt{7}x^{-\sqrt{7}-1}$.