Номер 174, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int \frac{dx}{7\cos^2(3-x)}$ вынесем постоянный множитель $\frac{1}{7}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{7} \int \frac{dx}{\cos^2(3-x)}$

Теперь применим метод замены переменной. Пусть $u = 3-x$.

Найдем дифференциал: $du = d(3-x) = (3-x)'dx = -dx$, откуда следует, что $dx = -du$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\frac{1}{7} \int \frac{-du}{\cos^2 u} = -\frac{1}{7} \int \frac{du}{\cos^2 u}$

Полученный интеграл является табличным: $\int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C$.

Следовательно, получаем:

$-\frac{1}{7} \tan u + C$

Выполним обратную замену, подставив $u = 3-x$:

$-\frac{1}{7} \tan(3-x) + C$

Так как тангенс является нечетной функцией, то есть $\tan(-a) = -\tan(a)$, то $\tan(3-x) = \tan(-(x-3)) = -\tan(x-3)$. Поэтому решение можно также записать в виде $\frac{1}{7} \tan(x-3) + C$. Оба варианта ответа являются верными.

Ответ: $-\frac{1}{7} \tan(3-x) + C$.

2) Для вычисления интеграла $\int \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в числитель подынтегральной функции:

$\int \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \sin x} dx$

Числитель $1 - \sin^2 x$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$.

$\int \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x} dx$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sin x)$ (при условии, что $1 - \sin x \neq 0$):

$\int (1 + \sin x) dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int 1 dx + \int \sin x dx$

Это табличные интегралы:

$\int 1 dx = x$

$\int \sin x dx = -\cos x$

Собрав все вместе и добавив константу интегрирования $C$, получаем окончательный результат:

$x - \cos x + C$

Ответ: $x - \cos x + C$.