Номер 176, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{1}^{8} \frac{5 \, dx}{2x^{\frac{2}{3}}} $.

Сначала вынесем постоянный множитель за знак интеграла и преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$ \int_{1}^{8} \frac{5}{2x^{\frac{2}{3}}} \, dx = \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx $.
Далее найдем первообразную для функции $ f(x) = x^{-\frac{2}{3}} $ по формуле $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:
$ \int x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{x} $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $:
$ \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \frac{5}{2} [3\sqrt[3]{x}]_{1}^{8} = \frac{5}{2} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{1}) = \frac{5}{2} (3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = \frac{5}{2} (6 - 3) = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5 $.
Ответ: $ 7.5 $.

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}} \, dx $.

Преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $:
$ \int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}} \, dx = \int_{4}^{9} 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $ по формуле $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:
$ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ 3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \cdot [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = [2x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = 2(9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}}) $.
Вычислим значения: $ 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 $ и $ 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $.
$ 2(27 - 8) = 2 \cdot 19 = 38 $.
Ответ: $ 38 $.

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt[4]{2x - 1} \, dx $.

Запишем интеграл в виде $ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^{\frac{1}{4}} \, dx $.
Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $ u = 2x - 1 $.
Тогда дифференциал $ du = (2x - 1)' dx = 2 \, dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2} du $.
Найдем новые пределы интегрирования:
Если $ x = \frac{1}{2} $, то $ u = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0 $.
Если $ x = 1 $, то $ u = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^{\frac{1}{4}} \, dx = \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}} \, du $.
Найдем первообразную для $ u^{\frac{1}{4}} $:
$ \int u^{\frac{1}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} = \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}u^{\frac{5}{4}} $.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{2} [\frac{4}{5}u^{\frac{5}{4}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 0^{\frac{5}{4}}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{5} - 0\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.