Номер 3, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим значение переменной $x$.
Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{6}}}$.
Для удобства приведем дробные показатели степеней к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 равен 6.
Представим показатель $\frac{1}{2}$ как $\frac{3}{6}$.
Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{3}{6}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{3}{6}} + x^{\frac{5}{6}}}$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $x^{\frac{3}{6}}$, как в числителе, так и в знаменателе.
$\frac{x^{\frac{3}{6}}(1 - x^{\frac{5}{6} - \frac{3}{6}})}{x^{\frac{3}{6}}(1 + x^{\frac{5}{6} - \frac{3}{6}})} = \frac{x^{\frac{3}{6}}(1 - x^{\frac{2}{6}})}{x^{\frac{3}{6}}(1 + x^{\frac{2}{6}})}$
Так как $x = 0,008 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x^{\frac{3}{6}}$. Также упростим показатель степени в скобках: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
После упрощения получаем: $\frac{1 - x^{\frac{1}{3}}}{1 + x^{\frac{1}{3}}}$.
Теперь подставим в это выражение значение $x = 0,008$.
Сначала вычислим значение $x^{\frac{1}{3}}$, что эквивалентно кубическому корню из $x$.
$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{0,008}$.
Представим десятичную дробь $0,008$ в виде обыкновенной дроби: $0,008 = \frac{8}{1000}$.
$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь подставим найденное значение $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{5}$ в упрощенное выражение:
$\frac{1 - \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{5}}$.
Для деления дробей умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{4}{6}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, значение выражения при $x = 0,008$ равно $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$