Номер 7, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{x}} = 5$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Это приводит к следующему условию:

$\frac{x}{x-2} > 0$

Мы используем строгое неравенство, так как если $x=0$ или $x=2$, то в одном из членов исходного уравнения знаменатель подкоренного выражения обращается в ноль, что недопустимо.

Решим неравенство $\frac{x}{x-2} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это точки $x=0$ и $x=2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала. Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• Если $x < 0$, то $x < 0$ и $x-2 < 0$. Дробь положительна.
• Если $0 < x < 2$, то $x > 0$ и $x-2 < 0$. Дробь отрицательна.
• Если $x > 2$, то $x > 0$ и $x-2 > 0$. Дробь положительна.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Заметим, что подкоренные выражения $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{x-2}{x}$ являются взаимно обратными. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-2}}$. Исходя из ОДЗ, выражение под корнем всегда положительно, следовательно, $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x-2}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 5$

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):

$y^2 + 6 = 5y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда легко найти корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Оба найденных значения для $y$ положительны, поэтому они оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $y = 2$

$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-2} = 4$

$x = 4(x-2)$

$x = 4x - 8$

$3x = 8$

$x_1 = \frac{8}{3}$

Проверим, соответствует ли этот корень ОДЗ. Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} > 2$, корень $x_1 = \frac{8}{3}$ является решением.

Случай 2: $y = 3$

$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-2} = 9$

$x = 9(x-2)$

$x = 9x - 18$

$8x = 18$

$x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Проверим этот корень. Так как $\frac{9}{4} = 2.25 > 2$, корень $x_2 = \frac{9}{4}$ также является решением.

Итак, мы получили два корня: $\frac{8}{3}$ и $\frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}; \frac{8}{3}$