Номер 14, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется формула:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

1. Найдем координаты точки касания $(x_0, y_0)$.
По условию задачи, абсцисса точки касания $x_0 = \frac{1}{27}$.
Найдем соответствующую ординату $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$:
$y_0 = f(\frac{1}{27}) = (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} + 1$
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{1}{3})} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
Теперь найдем $y_0$:
$y_0 = 3 + 1 = 4$
Таким образом, точка касания имеет координаты $(x_0, y_0) = (\frac{1}{27}, 4)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$.
Функция задана как $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}} + 1)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3} - 1} + 0 = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

3. Найдем угловой коэффициент касательной $k$.
Угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{27}$:
$k = f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{4}{3})} = 27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$
Теперь найдем $k$:
$k = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27$

4. Составим уравнение касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{27}$, $y_0 = 4$ и $k = -27$ в формулу касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 4 = -27(x - \frac{1}{27})$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$:
$y - 4 = -27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$
$y - 4 = -27x + 1$
$y = -27x + 1 + 4$
$y = -27x + 5$

Полученное уравнение совпадает с вариантом ответа B.

Ответ: $y = -27x + 5$