Номер 16, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$, необходимо исследовать знак ее первой производной.

1. Нахождение области определения функции.

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое равно $\sqrt{x^3}$. Это выражение определено только для неотрицательных значений $x$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.

Найдем первую производную $y'$ по $x$, чтобы определить промежутки монотонности:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x\right)'$

Применяя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, получаем:

$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$

3. Нахождение критических точек.

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 2$ определена во всей области определения функции, т.е. при $x \ge 0$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

$x = 4$

Критическая точка $x=4$ принадлежит области определения $[0, +\infty)$.

4. Определение знаков производной и промежутков монотонности.

Критическая точка $x=4$ делит область определения $[0, +\infty)$ на два промежутка: $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

Для промежутка $[0, 4]$: выберем пробную точку, например, $x=1$.
$y'(1) = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Так как $y' < 0$, функция на промежутке $[0, 4]$ убывает (кемиді).

Для промежутка $[4, +\infty)$: выберем пробную точку, например, $x=9$.
$y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$.
Так как $y' > 0$, функция на промежутке $[4, +\infty]$ возрастает (өседі).

Таким образом, функция убывает на $[0, 4]$ и возрастает на $[4, +\infty]$. Сравнивая полученный результат с вариантами ответов, приходим к выводу, что правильный ответ — C.

Ответ: C. [0; 4] аралығында кемиді, [4; +∞) аралығында өседі;