Страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x + y} = 4 \\ x^2 - y + 5x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x + y \ge 0$.

Возведем обе части первого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$(\sqrt{x + y})^2 = 4^2$

$x + y = 16$

Из полученного уравнения выразим переменную $y$:

$y = 16 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы $x^2 - y + 5x = 0$:

$x^2 - (16 - x) + 5x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 16 + x + 5x = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант или теорему Виета. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = 16 - x$.

1. Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 16 - 2 = 14$

Таким образом, первая пара решений – $(2; 14)$.

2. Для $x_2 = -8$:

$y_2 = 16 - (-8) = 16 + 8 = 24$

Таким образом, вторая пара решений – $(-8; 24)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ, так как для обеих пар $x + y = 16$, что больше нуля.

Ответ: (2; 14); (–8; 24).

Решение:

Дано неравенство: $\sqrt{x-3} \le 4$.

Для решения этого иррационального неравенства необходимо рассмотреть два условия.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x - 3 \ge 0$

Отсюда следует, что $x \ge 3$.

2. Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:

$(\sqrt{x-3})^2 \le 4^2$

$x - 3 \le 16$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \le 16 + 3$

$x \le 19$

Теперь необходимо найти пересечение решений, полученных из этих двух условий. То есть, $x$ должен одновременно удовлетворять и условию $x \ge 3$, и условию $x \le 19$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$3 \le x \le 19$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $[3, 19]$.

Согласно условию задачи, требуется найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этому неравенству. Натуральные числа, входящие в промежуток $[3, 19]$, это: 3, 4, 5, ..., 18, 19. Наименьшим из этих чисел является 3.

Ответ: 3.

Для решения данного уравнения $(x-5)\sqrt{9-x^2} = 0$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) и затем найти корни уравнения.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$9 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть:

$9 \ge x^2$ или $x^2 \le 9$

Это неравенство выполняется, когда $|x| \le 3$, то есть:

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$. Любое решение уравнения должно принадлежать этому отрезку.

2. Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим два случая:

Случай а) Первый множитель равен нулю:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Случай б) Второй множитель равен нулю:

$\sqrt{9 - x^2} = 0$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$9 - x^2 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

3. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \in [-3, 3]$).

- Корень $x = 5$ не принадлежит ОДЗ, так как $5 \notin [-3, 3]$. Следовательно, это посторонний корень, и он не является решением уравнения.

- Корень $x = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \le 3 \le 3$.

- Корень $x = -3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \le -3 \le 3$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=3$ и $x=-3$.

Ответ: $\pm3$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Система неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{x-1} < 2, \\10-x \le 8 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{x-1} < 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0$

$x \ge 1$

Теперь решим само неравенство. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x-1})^2 < 2^2$

$x-1 < 4$

$x < 4+1$

$x < 5$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужны значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 1$ и $x < 5$.

Решением первого неравенства является интервал $x \in [1; 5)$.

2. Решим второе неравенство: $10-x \le 8$

Это линейное неравенство. Перенесем 10 в правую часть:

$-x \le 8 - 10$

$-x \le -2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge 2$

Решением второго неравенства является промежуток $x \in [2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь нам нужно найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим решениям:

$x \in [1; 5)$ и $x \in [2; +\infty)$.

Изобразим эти промежутки на числовой оси:

Пересечением промежутков $[1; 5)$ и $[2; +\infty)$ является промежуток, где оба условия выполняются. Это все числа, которые больше или равны 2, но строго меньше 5.

Таким образом, решение системы неравенств: $x \in [2; 5)$.

Сравнивая с предложенными вариантами:

A. (1; 5);

B. (1; 2];

C. [2; 5);

D. [2; 5].

Наш результат соответствует варианту C.

Ответ: C. [2; 5);

13. Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 5$ в точке $x=8$, необходимо сначала найти общую формулу производной $f'(x)$, а затем подставить в нее значение $x=8$.

Шаг 1: Нахождение производной функции.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю $(C)' = 0$.
Производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}} + 5)' = (x^{\frac{2}{3}})' + (5)'$
Применяя правила, получаем:
$(x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
$(5)' = 0$
Таким образом, производная функции равна:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
Это выражение можно также записать в виде: $f'(x) = \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Шаг 2: Вычисление значения производной в точке $x=8$.
Теперь подставим значение $x=8$ в найденное выражение для производной $f'(x)$.
$f'(8) = \frac{2}{3} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$
Вычислим значение $8^{-\frac{1}{3}}$:
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$
Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение обратно в формулу для $f'(8)$:
$f'(8) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Полученный результат $\frac{1}{3}$ соответствует варианту ответа D.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется формула:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

1. Найдем координаты точки касания $(x_0, y_0)$.
По условию задачи, абсцисса точки касания $x_0 = \frac{1}{27}$.
Найдем соответствующую ординату $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$:
$y_0 = f(\frac{1}{27}) = (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} + 1$
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{1}{3})} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
Теперь найдем $y_0$:
$y_0 = 3 + 1 = 4$
Таким образом, точка касания имеет координаты $(x_0, y_0) = (\frac{1}{27}, 4)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$.
Функция задана как $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}} + 1)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3} - 1} + 0 = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

3. Найдем угловой коэффициент касательной $k$.
Угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{27}$:
$k = f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = (27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = 27^{(-1) \cdot (-\frac{4}{3})} = 27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$
Теперь найдем $k$:
$k = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27$

4. Составим уравнение касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{27}$, $y_0 = 4$ и $k = -27$ в формулу касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 4 = -27(x - \frac{1}{27})$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$:
$y - 4 = -27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$
$y - 4 = -27x + 1$
$y = -27x + 1 + 4$
$y = -27x + 5$

Полученное уравнение совпадает с вариантом ответа B.

Ответ: $y = -27x + 5$

Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое можно записать как $\sqrt{x^3}$. Для того чтобы корень был определен в области действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Найти производную функции.

Для нахождения точек экстремума найдем первую производную функции $y$ по $x$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{x} - 1$.

3. Найти критические точки.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 1$ существует во всей области определения функции, кроме $x=0$, где она определена только с одной стороны. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения функции.

4. Определить характер экстремума.

Чтобы определить, является ли точка $x=1$ точкой минимума или максимума, исследуем знак производной $y' = \sqrt{x} - 1$ на интервалах, на которые область определения разбивается этой точкой: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $[0, 1)$: выберем любую точку, например, $x = 0.25$.
  $y'(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5 < 0$.
  Так как производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$: выберем любую точку, например, $x = 4$.
  $y'(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.
  Так как производная положительна, функция на этом интервале возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум. Таким образом, $x_{min} = 1$.

Другой способ — использовать вторую производную:

$y'' = (\sqrt{x} - 1)' = (x^{\frac{1}{2}} - 1)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=1$ значение второй производной $y''(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} > 0$. Так как вторая производная в критической точке положительна, это точка минимума.

Вывод:

Функция имеет одну точку экстремума — точку минимума при $x=1$. Сравнивая с предложенными вариантами:

A. $x_{min} = 1$

B. $x_{min} = 1; \quad x_{max} = -1$ (неверно, так как $x=-1$ не входит в область определения)

C. экстремумы жоқ (неверно, так как найден экстремум)

D. $x_{max} = 1$ (неверно, так как это точка минимума)

Правильный вариант — А.

Ответ: A

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$, необходимо исследовать знак ее первой производной.

1. Нахождение области определения функции.

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое равно $\sqrt{x^3}$. Это выражение определено только для неотрицательных значений $x$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.

Найдем первую производную $y'$ по $x$, чтобы определить промежутки монотонности:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x\right)'$

Применяя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, получаем:

$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$

3. Нахождение критических точек.

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 2$ определена во всей области определения функции, т.е. при $x \ge 0$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

$x = 4$

Критическая точка $x=4$ принадлежит области определения $[0, +\infty)$.

4. Определение знаков производной и промежутков монотонности.

Критическая точка $x=4$ делит область определения $[0, +\infty)$ на два промежутка: $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

Для промежутка $[0, 4]$: выберем пробную точку, например, $x=1$.
$y'(1) = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Так как $y' < 0$, функция на промежутке $[0, 4]$ убывает (кемиді).

Для промежутка $[4, +\infty)$: выберем пробную точку, например, $x=9$.
$y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$.
Так как $y' > 0$, функция на промежутке $[4, +\infty]$ возрастает (өседі).

Таким образом, функция убывает на $[0, 4]$ и возрастает на $[4, +\infty]$. Сравнивая полученный результат с вариантами ответов, приходим к выводу, что правильный ответ — C.

Ответ: C. [0; 4] аралығында кемиді, [4; +∞) аралығында өседі;