Номер 15, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения экстремумов функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое можно записать как $\sqrt{x^3}$. Для того чтобы корень был определен в области действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$.
Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Найти производную функции.

Для нахождения точек экстремума найдем первую производную функции $y$ по $x$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{x} - 1$.

3. Найти критические точки.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 1$ существует во всей области определения функции, кроме $x=0$, где она определена только с одной стороны. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения функции.

4. Определить характер экстремума.

Чтобы определить, является ли точка $x=1$ точкой минимума или максимума, исследуем знак производной $y' = \sqrt{x} - 1$ на интервалах, на которые область определения разбивается этой точкой: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $[0, 1)$: выберем любую точку, например, $x = 0.25$.
  $y'(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5 < 0$.
  Так как производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$: выберем любую точку, например, $x = 4$.
  $y'(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.
  Так как производная положительна, функция на этом интервале возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум. Таким образом, $x_{min} = 1$.

Другой способ — использовать вторую производную:

$y'' = (\sqrt{x} - 1)' = (x^{\frac{1}{2}} - 1)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=1$ значение второй производной $y''(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} > 0$. Так как вторая производная в критической точке положительна, это точка минимума.

Вывод:

Функция имеет одну точку экстремума — точку минимума при $x=1$. Сравнивая с предложенными вариантами:

A. $x_{min} = 1$

B. $x_{min} = 1; \quad x_{max} = -1$ (неверно, так как $x=-1$ не входит в область определения)

C. экстремумы жоқ (неверно, так как найден экстремум)

D. $x_{max} = 1$ (неверно, так как это точка минимума)

Правильный вариант — А.

Ответ: A