Номер 19, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19. Требуется вычислить определенный интеграл:$I = \int_{0}^{64} \left(\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right) dx$

Для вычисления воспользуемся свойством линейности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции. Используем табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right) dx = \frac{3}{4}\int x^{\frac{1}{3}} dx + \frac{3}{2}\int x^{\frac{1}{2}} dx$

$F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$

$F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}}$

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

$I = \left[ \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{64} = \left(\frac{9}{16}(64)^{\frac{4}{3}} + (64)^{\frac{3}{2}}\right) - \left(\frac{9}{16}(0)^{\frac{4}{3}} + (0)^{\frac{3}{2}}\right)$

Вычислим значение выражения при верхнем пределе $x=64$:

$(64)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256$

$(64)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{64})^3 = 8^3 = 512$

$\frac{9}{16}(256) + 512 = 9 \cdot \frac{256}{16} + 512 = 9 \cdot 16 + 512 = 144 + 512 = 656$

Значение выражения при нижнем пределе $x=0$ равно 0.

Следовательно, значение интеграла равно:

$I = 656 - 0 = 656$

Данное значение соответствует варианту ответа C.

Ответ: 656