Номер 181, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$.

Чтобы найти множество значений функции, нужно определить, какие значения может принимать $y$. Рассмотрим показательную часть функции, $\left(\frac{1}{5}\right)^x$. Для любой показательной функции вида $a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) область значений есть интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что выражение $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$.

Мы имеем неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$

Чтобы получить выражение для $f(x)$, вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x - 2 > 0 - 2$

$f(x) > -2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -2. Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим показательную часть $6^{x+2}$. Так как основание $6 > 0$, значение этого выражения всегда будет положительным для любого $x$.

Имеем неравенство:

$6^{x+2} > 0$

Чтобы найти множество значений для $f(x)$, прибавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям неравенства:

$6^{x+2} + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}$

$f(x) > \frac{1}{4}$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие $\frac{1}{4}$.

Ответ: $E(f) = \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$.

3) Дана функция $f(x) = 2,5^x + 3$.

Показательная часть функции, $2,5^x$, всегда принимает положительные значения, так как основание $2,5 > 0$.

Следовательно:

$2,5^x > 0$

Для нахождения множества значений $f(x)$, прибавим 3 к обеим частям этого неравенства:

$2,5^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Множество значений функции $f(x)$ состоит из всех чисел, которые строго больше 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = 0,7^{x-1} - 1$.

Рассмотрим показательную часть $0,7^{x-1}$. Основание $0,7$ является положительным числом ($0,7>0$), поэтому значение выражения $0,7^{x-1}$ всегда будет больше нуля для любого действительного $x$.

$0,7^{x-1} > 0$

Теперь вычтем 1 из обеих частей неравенства, чтобы найти область значений для $f(x)$:

$0,7^{x-1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, которые строго больше -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.