Номер 17, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения наибольшего (ең үлкен) и наименьшего (ең кіші) значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо исследовать поведение функции на данном отрезке. Алгоритм решения включает в себя нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1.Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

2.Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$y' = 0 \implies \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 0 \implies x = 0$.Критическая точка $x=0$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 4]$. Производная $y' = \frac{5}{2}\sqrt{x^3}$ определена для всех $x \ge 0$, поэтому других критических точек, где производная не существует, на данном отрезке нет.

3.Анализ монотонности и вычисление значений на концах отрезка.
Поскольку на интервале $(1; 4)$ нет критических точек, функция на этом интервале является монотонной. Определим знак производной на этом интервале. Для любого $x$ из отрезка $[1; 4]$ значение $x$ положительно, следовательно, производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$ также всегда будет положительной.Это означает, что функция $y(x)$ является строго возрастающей на отрезке $[1; 4]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в начале отрезка, а наибольшее — в его конце. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$:

Наименьшее значение (ең кіші мәні) при $x=1$:

$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$

Наибольшее значение (ең үлкен мәні) при $x=4$:

$y(4) = 4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 32, а наименьшее значение равно 1.

Ответ: 32; 1.