Вопросы, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Основание показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) определяет её ключевые свойства. В первую очередь, от значения основания $a$ зависят монотонность функции и скорость её изменения (крутизна графика).
- Монотонность: Если основание $a > 1$, функция является строго возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Если же основание $0 < a < 1$, функция является строго убывающей, и для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
- Скорость изменения: При $a > 1$ чем больше $a$, тем быстрее растёт функция, и её график становится «круче». При $0 < a < 1$ чем меньше $a$ (ближе к нулю), тем быстрее убывает функция.

Ответ: Через основание показательной функции определяются её монотонность (возрастание при $a>1$ и убывание при $0

2. Утверждение о том, что график любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0;1)$, основано на свойстве степени с нулевым показателем. Чтобы проверить принадлежность точки графику, нужно подставить её координаты ($x=0, y=1$) в уравнение функции:
$y = a^x$
$1 = a^0$
Согласно математическому правилу, любое положительное число, возведённое в степень 0, равно 1. Поскольку для показательной функции основание $a$ всегда удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, равенство $a^0 = 1$ всегда будет верным. Следовательно, при $x=0$ значение функции всегда равно 1, независимо от основания $a$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве $a^0=1$ для любого $a > 0, a \neq 1$. При подстановке $x=0$ в уравнение $y=a^x$ всегда получается $y=1$.

3. Графики двух функций симметричны относительно оси ординат (оси OY), если одна из них является результатом отражения другой относительно этой оси. Для показательной функции $y = a^x$, симметричной ей будет функция, у которой каждому значению $x$ соответствует то же значение $y$, что и у исходной функции при значении $-x$.
Пусть первая функция $f(x) = a^x$. Симметричная ей функция $g(x)$ должна удовлетворять условию $g(x) = f(-x)$.
$f(-x) = a^{-x} = (a^{-1})^x = (\frac{1}{a})^x$.
Таким образом, функция, график которой симметричен графику $y = a^x$ относительно оси ординат, — это $y = (\frac{1}{a})^x$. Это означает, что их основания должны быть взаимно обратными числами. Например, графики функций $y=2^x$ и $y=(\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси OY, что и показано на рисунке.

Ответ: Графики показательных функций $y=a^x$ и $y=b^x$ симметричны относительно оси ординат, если их основания являются взаимно обратными числами, то есть $b = 1/a$.

4. Рассмотрим, как меняется значение функции $y = a^x$ при возрастании аргумента $x$ на всей числовой оси (от $-\infty$ до $+\infty$) для двух случаев.

1) В случае, когда основание $a > 1$, показательная функция является строго возрастающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение функции $y = a^x$ непрерывно возрастает, принимая значения от 0 (не включая) до $+\infty$.

2) В случае, когда основание $0 < a < 1$, показательная функция является строго убывающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение функции $y = a^x$ непрерывно убывает, принимая значения от $+\infty$ до 0 (не включая).

Ответ: 1) При $a > 1$, с ростом $x$ значение функции $y = a^x$ возрастает от 0 до $+\infty$. 2) При $0 < a < 1$, с ростом $x$ значение функции $y = a^x$ убывает от $+\infty$ до 0.