Вопросы, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Көрсеткіштік функцияның негізі арқылы осы функцияның қандай қасиеттері анықталады?

Көрсеткіштік функцияның негізі $a$ оның ең басты қасиеті — монотондылығын (өсуі немесе кемуі) анықтайды:

• Егер $a > 1$ болса, функция бүкіл анықталу облысында өседі.
• Егер $0 < a < 1$ болса, функция бүкіл анықталу облысында кемиді.

2. “Кез келген көрсеткіштік функцияның графигі (0;1) нүктесі арқылы өтеді” деген тұжырым неге негізделген?

Бұл тұжырым кез келген нөлге тең емес санның нөлдік дәрежесі бірге тең деген математикалық ережеге негізделген:

$$a^0 = 1 \quad (\text{мұндағы } a > 0, a \neq 1)$$

Графикке салсақ, $x = 0$ болғанда, $y$ әрқашан $1$-ге тең болады, сондықтан барлық негізгі көрсеткіштік функциялар $(0;1)$ нүктесінде қиылысады.

3. Қандай көрсеткіштік функциялардың графиктерi ордината осiне ($Oy$) қарағанда симметриялы болады?

Негіздері өзара кері сандар болатын функциялардың графиктері $Oy$ осіне қарағанда симметриялы болады. Мысалы:

• $y = a^x$ және $y = (\frac{1}{a})^x$ (немесе $y = a^{-x}$).

Мысалы, $y = 2^x$ және $y = 0,5^x$ функцияларының графиктері бір-бірінің айнадағы бейнесі іспетті.

4. $x$-тің мәнi өссе, $y = a^x$ функциясының мәнi қалай өзгереді?

Бұл жерде функцияның негізіне байланысты екі түрлі жағдай болады:

1. егер $a > 1$ болса: аргумент $x$ өскен сайын, функцияның мәні $y$ де өседі. Бұл тура пропорционалды өсімді көрсетеді.
2. егер $0 < a < 1$ болса: аргумент $x$ өскен сайын, функцияның мәні $y$ кемиді және нөлге жақындай түседі (бірақ ешқашан нөлден аспайды).