Номер 185, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

185. Көрсеткіштік функцияның қасиеттерін қолданып төмендегі сандарды бір санымен салыстырыңдар:

1) $11^{-5}$;

2) $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$;

3) $(0,15)^{-3}$;

4) $(1,2)^{-2}$.

Для сравнения числа с единицей используется свойство показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что если показатель $x > 0$, то $a^x > a^0 = 1$. Если же $x < 0$, то $a^x < a^0 = 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что если показатель $x > 0$, то $a^x < a^0 = 1$. Если же $x < 0$, то $a^x > a^0 = 1$.

1) $11^{-5}$

Рассмотрим число $11^{-5}$. Основание степени $a = 11$, показатель степени $x = -5$.

Поскольку основание $a = 11 > 1$, показательная функция $y = 11^x$ является возрастающей.

Показатель степени $x = -5 < 0$. Для возрастающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $11^{-5} < 11^0$, а так как $11^0 = 1$, то $11^{-5} < 1$.

Ответ: $11^{-5} < 1$.

2) $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$

Рассмотрим число $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$. Основание степени $a = \frac{5}{6}$, показатель степени $x = \frac{2}{3}$.

Поскольку основание $0 < a = \frac{5}{6} < 1$, показательная функция $y = (\frac{5}{6})^x$ является убывающей.

Показатель степени $x = \frac{2}{3} > 0$. Для убывающей функции, если аргумент больше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < (\frac{5}{6})^0$, а так как $(\frac{5}{6})^0 = 1$, то $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

Ответ: $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

3) $(0,15)^{-3}$

Рассмотрим число $(0,15)^{-3}$. Основание степени $a = 0,15$, показатель степени $x = -3$.

Поскольку основание $0 < a = 0,15 < 1$, показательная функция $y = (0,15)^x$ является убывающей.

Показатель степени $x = -3 < 0$. Для убывающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции больше единицы.

Следовательно, $(0,15)^{-3} > (0,15)^0$, а так как $(0,15)^0 = 1$, то $(0,15)^{-3} > 1$.

Ответ: $(0,15)^{-3} > 1$.

4) $(1,2)^{-2}$

Рассмотрим число $(1,2)^{-2}$. Основание степени $a = 1,2$, показатель степени $x = -2$.

Поскольку основание $a = 1,2 > 1$, показательная функция $y = (1,2)^x$ является возрастающей.

Показатель степени $x = -2 < 0$. Для возрастающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $(1,2)^{-2} < (1,2)^0$, а так как $(1,2)^0 = 1$, то $(1,2)^{-2} < 1$.

Ответ: $(1,2)^{-2} < 1$.