Номер 187, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = 9^x$ және $y = 4^x$

Бұл екі функция да $y = a^x$ түріндегі көрсеткіштік функциялар, мұнда негіз $a > 1$.
$y = 9^x$ функциясы үшін негіз $a = 9$.
$y = 4^x$ функциясы үшін негіз $a = 4$.
Екі функцияның да графиктері $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді, себебі кез келген санның 0-дәрежесі 1-ге тең. $9 > 1$ және $4 > 1$ болғандықтан, екі функция да өспелі болып табылады.

Енді $x$-тің әртүрлі мәндері үшін жағдайларды қарастырайық:

$x > 0$ жағдайында:
Негізі үлкен болатын функцияның мәні де үлкен болады. Яғни, $9 > 4$ болғандықтан, $x$-тің кез келген оң мәнінде $9^x > 4^x$ теңсіздігі орындалады. Мысалы, $x = 2$ болса, $9^2 = 81$ және $4^2 = 16$, ал $81 > 16$. Демек, $x > 0$ аралығында $y = 9^x$ графигі $y = 4^x$ графигінен жоғары орналасқан.

$x = 0$ жағдайында:
$y = 9^0 = 1$ және $y = 4^0 = 1$. Демек, $x = 0$ нүктесінде графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады.

$x < 0$ жағдайында:
$x$ теріс болғанда, негізі үлкен болатын функцияның мәні кіші болады. Яғни, $9 > 4$ болғандықтан, $x$-тің кез келген теріс мәнінде $9^x < 4^x$ теңсіздігі орындалады. Мұны $x = -k$ ($k > 0$) деп алмастыру арқылы көруге болады: $9^{-k} < 4^{-k}$, бұл $\frac{1}{9^k} < \frac{1}{4^k}$ теңсіздігіне эквивалентті. Мысалы, $x = -2$ болса, $9^{-2} = \frac{1}{81}$ және $4^{-2} = \frac{1}{16}$, ал $\frac{1}{81} < \frac{1}{16}$. Демек, $x < 0$ аралығында $y = 9^x$ графигі $y = 4^x$ графигінен төмен орналасқан.

Ответ: $x > 0$ болғанда $y=9^x$ графигі $y=4^x$ графигінен жоғары, $x = 0$ болғанда графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады, ал $x < 0$ болғанда $y=9^x$ графигі $y=4^x$ графигінен төмен орналасқан.

2) $y = (\frac{1}{2})^x$ және $y = (\frac{1}{3})^x$

Бұл екі функция да $y = a^x$ түріндегі көрсеткіштік функциялар, мұнда негіз $0 < a < 1$.
$y = (\frac{1}{2})^x$ функциясы үшін негіз $a = \frac{1}{2}$.
$y = (\frac{1}{3})^x$ функциясы үшін негіз $a = \frac{1}{3}$.
Екі функцияның да графиктері $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді. Негіздері 1-ден кіші болғандықтан ($0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$), екі функция да кемімелі болып табылады.

Енді $x$-тің әртүрлі мәндері үшін жағдайларды қарастырайық:

$x > 0$ жағдайында:
Негізі үлкен болатын функцияның мәні де үлкен болады. Яғни, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ болғандықтан, $x$-тің кез келген оң мәнінде $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{3})^x$ теңсіздігі орындалады. Мысалы, $x = 2$ болса, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ және $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$, ал $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$. Демек, $x > 0$ аралығында $y = (\frac{1}{2})^x$ графигі $y = (\frac{1}{3})^x$ графигінен жоғары орналасқан.

$x = 0$ жағдайында:
$y = (\frac{1}{2})^0 = 1$ және $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Демек, $x = 0$ нүктесінде графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады.

$x < 0$ жағдайында:
$x$ теріс болғанда, негізі үлкен болатын функцияның мәні кіші болады. Яғни, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ болғандықтан, $x$-тің кез келген теріс мәнінде $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{3})^x$ теңсіздігі орындалады. Мұны $x = -k$ ($k > 0$) деп алмастыру арқылы көруге болады: $(\frac{1}{2})^{-k} < (\frac{1}{3})^{-k}$, бұл $2^k < 3^k$ теңсіздігіне эквивалентті. Мысалы, $x = -2$ болса, $(\frac{1}{2})^{-2} = 4$ және $(\frac{1}{3})^{-2} = 9$, ал $4 < 9$. Демек, $x < 0$ аралығында $y = (\frac{1}{2})^x$ графигі $y = (\frac{1}{3})^x$ графигінен төмен орналасқан.

Ответ: $x > 0$ болғанда $y=(\frac{1}{2})^x$ графигі $y=(\frac{1}{3})^x$ графигінен жоғары, $x = 0$ болғанда графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады, ал $x < 0$ болғанда $y=(\frac{1}{2})^x$ графигі $y=(\frac{1}{3})^x$ графигінен төмен орналасқан.