Номер 193, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

193. Көрсеткіштік функцияның қасиеттеріне сүйеніп төмендегі тұжырымдардың ақиқаттығын дәлелдеңдер:

1) $a^x > a^3$ және $x > 3$ теңсіздіктері мәндес;

2) $7^{x^2} > 7^x$ теңсіздігінен $x^2 < x$ теңсіздігі шығады;

3) $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ және $2x < x - 1$ теңсіздіктері мәндес.

1)

Для того чтобы определить, являются ли неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильными (мәндес), необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ в зависимости от значения ее основания $a$.

Случай 1: Основание $a > 1$.

Если основание показательной функции больше 1, то функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, для $a > 1$ неравенство $a^x > a^3$ выполняется тогда и только тогда, когда показатель степени $x$ больше показателя степени $3$, то есть $x > 3$. В этом случае данные неравенства равносильны.

Случай 2: Основание $0 < a < 1$.

Если основание показательной функции находится в интервале от 0 до 1, то функция является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, для $0 < a < 1$ неравенство $a^x > a^3$ выполняется тогда и только тогда, когда показатель степени $x$ меньше показателя степени $3$, то есть $x < 3$. В этом случае неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ не являются равносильными.

Таким образом, утверждение о равносильности неравенств $a^x > a^3$ и $x > 3$ истинно только при условии $a > 1$.

Ответ: Утверждение верно при $a > 1$.

2)

Рассмотрим утверждение: из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует неравенство $x^2 < x$.

Мы имеем дело с показательным неравенством. Основание степени $a=7$.

Поскольку основание $7 > 1$, показательная функция $y = 7^u$ является строго возрастающей. Это свойство означает, что если $a^{u_1} > a^{u_2}$ при $a > 1$, то $u_1 > u_2$.

Применим это свойство к нашему неравенству $7^{x^2} > 7^x$. Здесь $u_1 = x^2$ и $u_2 = x$.

Следовательно, неравенство $7^{x^2} > 7^x$ равносильно неравенству $x^2 > x$.

Утверждение в задаче гласит, что из $7^{x^2} > 7^x$ следует $x^2 < x$. Это противоречит свойству возрастающей показательной функции, так как из $7^{x^2} > 7^x$ должно следовать $x^2 > x$.

Следовательно, данное утверждение является ложным.

Ответ: Утверждение ложно. Из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует неравенство $x^2 > x$.

3)

Рассмотрим утверждение о равносильности неравенств $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$.

Для решения первого неравенства приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Подставим это в исходное неравенство:

$((\frac{1}{3})^2)^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Теперь мы имеем показательное неравенство с основанием $a = \frac{1}{3}$.

Поскольку основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^u$ является строго убывающей. Это свойство означает, что если $a^{u_1} > a^{u_2}$ при $0 < a < 1$, то $u_1 < u_2$ (знак неравенства для показателей меняется на противоположный).

Применим это свойство к нашему неравенству. Здесь $u_1 = 2x$ и $u_2 = x-1$.

Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$ равносильно неравенству $2x < x - 1$.

Это в точности совпадает со вторым неравенством, данным в условии. Таким образом, данные два неравенства равносильны.

Ответ: Утверждение верно.