Страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Егер $\alpha$ және $\beta$ рационал сандар және $\alpha = \frac{m}{n}$ немесе $\beta = \frac{m}{n}$ болса, онда $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ және $\int x^\beta dx = \frac{x^{\beta+1}}{\beta+1} + C$ формулаларындағы $\frac{m}{n}$ неге қысқартылмайтын бөлшек болу керек?

Бұл талап степендік функция $y = x^{\frac{m}{n}}$ анықталу облысының бірмәнділігін қамтамасыз ету үшін қажет, әсіресе $x$ теріс мәндер қабылдағанда.

Степендік функцияның рационал көрсеткішпен анықтамасы $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$ болып табылады. Бұл функцияның анықталу облысы $n$ бөлшегінің бөлімінің жұп немесе тақ болуына байланысты.

1. Егер $n$ – жұп сан болса, онда $x^m$ оң болуы керек, яғни функция тек $x \ge 0$ үшін анықталған (егер $m$ жұп болса, барлық $x$ үшін, бірақ түбірдің өзі $x \ge 0$ талап етеді). Мысалы, $\sqrt[2]{-4}$ нақты сандар жиынында анықталмаған.

2. Егер $n$ – тақ сан болса, онда функция барлық нақты $x$ үшін анықталған. Мысалы, $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Егер $\frac{m}{n}$ бөлшегі қысқартылатын болса, оны басқа эквивалентті, бірақ бөлімі басқа бөлшекпен алмастыруға болады. Бұл функцияның анықталу облысын өзгертіп, екіұштылыққа әкелуі мүмкін.

Мысал қарастырайық: $y = x^{\frac{1}{3}}$ және оған эквивалентті $y = x^{\frac{2}{6}}$ функциялары.

- $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$. Бұл функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар ($x \in \mathbb{R}$). Мысалы, $x = -27$ болса, $y = \sqrt[3]{-27} = -3$.

- Егер $y = x^{\frac{2}{6}}$ деп алып, оны $y = \sqrt[6]{x^2}$ деп анықтасақ, $x^2$ әрқашан оң болғандықтан, анықталу облысы $x \in \mathbb{R}$ болады. Бірақ егер оны $(\sqrt[6]{x})^2$ деп анықтасақ, онда $x \ge 0$ болуы керек, себебі теріс саннан 6-дәрежелі түбір алуға болмайды. $x = -27$ үшін $(\sqrt[6]{-27})^2$ анықталмаған.

Осындай екіұштылықты болдырмау үшін және дифференциалдау мен интегралдау формулаларын бүкіл анықталу облысында дұрыс қолдану үшін, рационал көрсеткіш $\frac{m}{n}$ қысқартылмайтын бөлшек түрінде алынуы керек. Бұл $n$ бөлімінің жұптылығын бекітеді және функцияның анықталу облысын бірмағыналы етеді.

Ответ: $\frac{m}{n}$ бөлшегінің қысқартылмайтын болуы $y=x^{\frac{m}{n}}$ функциясының анықталу облысын, әсіресе $x$ теріс болғанда, бірмағыналы анықтау үшін қажет. Қысқартылатын бөлшектерді пайдалану функцияның анықталуында екіұштылық тудыруы мүмкін, бұл дифференциалдау және интегралдау формулаларын қолдану кезінде қателіктерге әкеледі.

2. 1-4-мысалдарда дәреженің қандай қасиеттері қолданылды?

Суретте 1-4 мысалдар көрсетілмеген. Алайда, рационал көрсеткішті функцияларды дифференциалдау және интегралдауға байланысты есептерде әдетте өрнектерді $x^k$ түріне келтіру үшін дәреженің келесі негізгі қасиеттері қолданылады:

1.Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасы: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Бұл қасиет түбірлерді дәрежеге айналдыру үшін қолданылады.

2.Теріс көрсеткішті дәреже: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Бұл қасиет бөлшектің бөліміндегі дәрежені алымына шығару үшін қажет.

3.Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Бірнеше көбейткішті бір дәрежеге келтіру үшін қолданылады.

4.Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу: $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$. Бөлшектерді ықшамдау үшін қолданылады.

5.Дәрежені дәрежеге шығару: $(x^a)^b = x^{ab}$. Күрделі дәрежелік өрнектерді ықшамдау үшін қажет.

Осы қасиеттерді қолдану арқылы күрделі өрнектерді интегралдауға немесе дифференциалдауға ыңғайлы $x^k$ стандартты түріне келтіруге болады.

Ответ: 1-4 мысалдар берілмегендіктен, ең ықтимал қолданылған дәреже қасиеттерінің тізімі: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$, $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ және $(x^a)^b = x^{ab}$.

Для нахождения производной функции вида $f(x) = c \cdot x^n$, где $c$ и $n$ — константы, используется основное правило дифференцирования степенной функции: $(c \cdot x^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}$.

1) Дана функция $f(x) = x^9$.

Здесь $n=9$. Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (x^9)' = 9 \cdot x^{9-1} = 9x^8$.

Ответ: $f'(x) = 9x^8$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-1}$.

Здесь $n=-1$. Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$.

Это выражение также можно записать в виде дроби: $-\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -x^{-2}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{7}x^7$.

Здесь коэффициент $c = \frac{1}{7}$ и показатель степени $n=7$. Используем правило для константы, умноженной на функцию:

$f'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)'$.

Находим производную $x^7$:

$(x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$.

Подставляем обратно:

$f'(x) = \frac{1}{7} \cdot 7x^6 = x^6$.

Ответ: $f'(x) = x^6$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{11}{6}}$.

Здесь показатель степени $n = -\frac{11}{6}$. Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{11}{6}})' = -\frac{11}{6} \cdot x^{-\frac{11}{6} - 1}$.

Вычисляем новый показатель степени:

$-\frac{11}{6} - 1 = -\frac{11}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{17}{6}$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = -\frac{11}{6}x^{-\frac{17}{6}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{11}{6}x^{-\frac{17}{6}}$.

1) Для функции $f(x) = 2x^4$ найдем ее производную. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения постоянного множителя, получаем:
$f'(x) = (2x^4)' = 2 \cdot (x^4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$f'(1) = 8 \cdot 1^3 = 8 \cdot 1 = 8$.
Ответ: 8

2) Для функции $f(x) = x^{-3}$ найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$f'(1) = -3 \cdot 1^{-4} = -3 \cdot 1 = -3$.
Ответ: -3

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^{-3}}$ сначала упростим выражение, используя свойство степеней $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$:
$f(x) = x^3$.
Теперь найдем производную этой функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

4) Для функции $f(x) = x^{-2.5}$ найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x^{-2.5})' = -2.5x^{-2.5-1} = -2.5x^{-3.5}$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$f'(1) = -2.5 \cdot 1^{-3.5} = -2.5 \cdot 1 = -2.5$.
Ответ: -2.5

1) Для нахождения неопределенного интеграла функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ представим ее в виде степенной функции. Учитывая, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, имеем:$f(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.Теперь используем основную формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:$\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$.
Ответ: $\sqrt{x} + C$.

2) Представим функцию $f(x) = \frac{2}{3\sqrt{x^3}}$ в виде степенной функции. В стандартной математической записи выражение $3\sqrt{x^3}$ означает произведение $3 \cdot \sqrt{x^3}$. Учитывая, что $\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$, получаем:$f(x) = \frac{2}{3x^{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}$.Найдем ее неопределенный интеграл по формуле для степенной функции:$\int \frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3} \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} + C = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} \cdot (-2)x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{4}{3}x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{4}{3\sqrt{x}} + C$.
Ответ: $-\frac{4}{3\sqrt{x}} + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{5}}$ найдем неопределенный интеграл, используя ту же формулу:$\int \frac{3}{4}x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{15}{36}x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{5}{12}x^{\frac{9}{5}} + C$.Результат также можно представить в виде корня: $\frac{5}{12}\sqrt[5]{x^9} + C$.
Ответ: $\frac{5}{12}x^{\frac{9}{5}} + C$.

4) Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$:$\int x^{-\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{-\frac{7}{8}+1}}{-\frac{7}{8}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{8}}}{\frac{1}{8}} + C = 8x^{\frac{1}{8}} + C$.Результат также можно представить в виде корня: $8\sqrt[8]{x} + C$.
Ответ: $8x^{\frac{1}{8}} + C$.

1) Чтобы найти значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, необходимо сначала найти общую производную $f'(x)$, а затем подставить в нее значение $x_0$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 8$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:
$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и точка $x_0 = 9$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:
$f'(9) = -\frac{1}{2 \cdot 9 \sqrt{9}} = -\frac{1}{2 \cdot 9 \cdot 3} = -\frac{1}{54}$.
Ответ: $-\frac{1}{54}$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{3}{x^2}$ и точка $x_0 = 6$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = -3x^{-2}$.
Найдем производную, используя правило для константы и степенной функции:
$f'(x) = (-3x^{-2})' = -3 \cdot (-2)x^{-2-1} = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 6$:
$f'(6) = \frac{6}{6^3} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1$.
Функция уже представлена в виде степенной функции. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{1^4}} = -\frac{1}{3 \cdot 1} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.