Страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству:

$x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0$

Для решения этого неравенства разложим многочлен в левой части на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) \ge 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Таким образом, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Подставим это разложение обратно в неравенство:

$x(x - 2)(x - 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части уравнения $x(x - 2)(x - 3) = 0$ равны $x=0$, $x=2$ и $x=3$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 2)(x - 3)$ в каждом интервале:

• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $4(4-2)(4-3) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$ (знак "+").
• При $x \in (2; 3)$, например, $x=2.5$: $2.5(2.5-2)(2.5-3) = 2.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) = -0.625 < 0$ (знак "-").
• При $x \in (0; 2)$, например, $x=1$: $1(1-2)(1-3) = 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2 > 0$ (знак "+").
• При $x \in (-\infty; 0)$, например, $x=-1$: $(-1)(-1-2)(-1-3) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24 < 0$ (знак "-").

Графическое представление метода интервалов:

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$), то есть интервалы со знаком "+". Поскольку неравенство нестрогое, точки $x=0$, $x=2$ и $x=3$ также включаются в решение.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $[0; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $[0; 2] \cup [3; +\infty)$

2. Берілген өрнектің мәнін есептеу үшін дәреженің қасиеттерін қолданамыз.

Алдымен, теріс дәреже көрсеткішінің қасиетін пайдаланамыз: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} $. Осы қасиетті біздің өрнекке қолдансақ:

$(\frac{125}{512})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{512}{125})^{\frac{1}{3}}$

Енді бөлшек дәреже көрсеткішінің қасиетін қолданамыз, ол түбір табуға тең: $ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $. Бұл жағдайда $ n=3 $, сондықтан біз кубтық түбірді табамыз:

$(\frac{512}{125})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{512}{125}}$

Бөлшектен түбір табу үшін алымнан да, бөлімнен де жеке-жеке түбір аламыз:

$\sqrt[3]{\frac{512}{125}} = \frac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{125}}$

Енді сандардың кубтық түбірлерін есептейік. $125$ саны $5$-тің үшінші дәрежесіне тең ($5^3$), ал $512$ саны $8$-дің үшінші дәрежесіне тең ($8^3$). Сондықтан:

$\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{8^3} = 8$

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

Нәтижелерді орнына қоямыз:

$\frac{8}{5}$

Алынған жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдырамыз:

$\frac{8}{5} = 1.6$

Сонымен, өрнектің мәні 1,6-ға тең, бұл D нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: D. 1,6.

3.Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим значение переменной $x$.
Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{6}}}$.
Для удобства приведем дробные показатели степеней к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 равен 6.
Представим показатель $\frac{1}{2}$ как $\frac{3}{6}$.
Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{3}{6}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{3}{6}} + x^{\frac{5}{6}}}$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $x^{\frac{3}{6}}$, как в числителе, так и в знаменателе.
$\frac{x^{\frac{3}{6}}(1 - x^{\frac{5}{6} - \frac{3}{6}})}{x^{\frac{3}{6}}(1 + x^{\frac{5}{6} - \frac{3}{6}})} = \frac{x^{\frac{3}{6}}(1 - x^{\frac{2}{6}})}{x^{\frac{3}{6}}(1 + x^{\frac{2}{6}})}$
Так как $x = 0,008 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x^{\frac{3}{6}}$. Также упростим показатель степени в скобках: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
После упрощения получаем: $\frac{1 - x^{\frac{1}{3}}}{1 + x^{\frac{1}{3}}}$.
Теперь подставим в это выражение значение $x = 0,008$.
Сначала вычислим значение $x^{\frac{1}{3}}$, что эквивалентно кубическому корню из $x$.
$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{0,008}$.
Представим десятичную дробь $0,008$ в виде обыкновенной дроби: $0,008 = \frac{8}{1000}$.
$\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь подставим найденное значение $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{5}$ в упрощенное выражение:
$\frac{1 - \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{5}}$.
Для деления дробей умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{4}{6}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, значение выражения при $x = 0,008$ равно $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{b^{\frac{1}{3}}}{b - 1} + \frac{b}{b^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} \right) \cdot \left( b^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \cdot \frac{b - 1}{b^{\frac{1}{3}}} $$

При упрощении этого выражения в его исходном виде получается результат, который не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что в знаменателе второй дроби в первых скобках вместо $b^{\frac{2}{3}}$ должно быть $b^{\frac{1}{3}}$, то выражение принимает вид:

$$ \left( \frac{b^{\frac{1}{3}}}{b - 1} + \frac{b}{b^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} \right) \cdot \left( b^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \cdot \frac{b - 1}{b^{\frac{1}{3}}} $$

Решим это исправленное выражение.

1. Сначала упростим второе слагаемое в первых скобках. Для этого в знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b^{\frac{1}{3}}$:

$$ \frac{b}{b^{\frac{4}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b}{b^{\frac{1}{3}}(b - 1)} $$

Теперь сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{b^1}{b^{\frac{1}{3}}(b - 1)} = \frac{b^{1 - \frac{1}{3}}}{b - 1} = \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b - 1} $$

2. Подставим упрощенное слагаемое обратно в первые скобки и выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:

$$ \frac{b^{\frac{1}{3}}}{b - 1} + \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b - 1} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{b - 1} $$

3. Теперь всё выражение выглядит следующим образом:

$$ \frac{b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{b - 1} \cdot (b^{\frac{1}{3}} - 1) \cdot \frac{b - 1}{b^{\frac{1}{3}}} $$

4. Сократим множитель $(b - 1)$, который находится в числителе и знаменателе:

$$ (b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \cdot \frac{b^{\frac{1}{3}} - 1}{b^{\frac{1}{3}}} $$

5. В выражении $(b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ вынесем за скобки общий множитель $b^{\frac{1}{3}}$:

$$ b^{\frac{1}{3}}(1 + b^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{b^{\frac{1}{3}} - 1}{b^{\frac{1}{3}}} $$

6. Сократим множитель $b^{\frac{1}{3}}$:

$$ (1 + b^{\frac{1}{3}})(b^{\frac{1}{3}} - 1) $$

7. Применим формулу разности квадратов $(a+c)(c-a) = c^2 - a^2$, где $c = b^{\frac{1}{3}}$ и $a = 1$:

$$ (b^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = b^{\frac{2}{3}} - 1 $$

Полученный результат соответствует варианту ответа C.

Ответ: $b^{\frac{2}{3}} - 1$.

5. Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Исходное выражение: $(k^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{1}{3}}) \cdot (k^{\frac{2}{3}} + q^{\frac{2}{3}} - (kq)^{\frac{1}{3}})$.

Преобразуем второй множитель, используя свойства степеней:

$k^{\frac{2}{3}} = (k^{\frac{1}{3}})^2$

$q^{\frac{2}{3}} = (q^{\frac{1}{3}})^2$

$(kq)^{\frac{1}{3}} = k^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}}$

Подставим эти преобразования в выражение и перегруппируем слагаемые во второй скобке:

$(k^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{1}{3}}) \cdot ((k^{\frac{1}{3}})^2 - k^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} + (q^{\frac{1}{3}})^2)$

Теперь выражение полностью соответствует формуле суммы кубов, где $a = k^{\frac{1}{3}}$ и $b = q^{\frac{1}{3}}$.

Применяем формулу:

$(k^{\frac{1}{3}})^3 + (q^{\frac{1}{3}})^3 = k^{\frac{1}{3} \cdot 3} + q^{\frac{1}{3} \cdot 3} = k^1 + q^1 = k + q$.

Ответ: $k + q$.

Решение:

Чтобы найти значение выражения $\frac{27^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1}}{625^{-\frac{1}{4}}}$, вычислим поочередно значение числителя и знаменателя.

1. Сначала вычислим значение числителя: $27^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1}$.
Для этого преобразуем каждый член выражения, используя свойства степеней ($a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ и $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$):

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

$2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в выражение для числителя:

$3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, числитель дроби равен 1.

2. Теперь вычислим значение знаменателя: $625^{-\frac{1}{4}}$.
Используя те же свойства степеней:

$625^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{625^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{625}}$.

Поскольку $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.

Следовательно, знаменатель дроби равен $\frac{1}{5}$.

3. Наконец, разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: 5.

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{\frac{x}{x-2}} + 6\sqrt{\frac{x-2}{x}} = 5$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Это приводит к следующему условию:

$\frac{x}{x-2} > 0$

Мы используем строгое неравенство, так как если $x=0$ или $x=2$, то в одном из членов исходного уравнения знаменатель подкоренного выражения обращается в ноль, что недопустимо.

Решим неравенство $\frac{x}{x-2} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это точки $x=0$ и $x=2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала. Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• Если $x < 0$, то $x < 0$ и $x-2 < 0$. Дробь положительна.
• Если $0 < x < 2$, то $x > 0$ и $x-2 < 0$. Дробь отрицательна.
• Если $x > 2$, то $x > 0$ и $x-2 > 0$. Дробь положительна.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Заметим, что подкоренные выражения $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{x-2}{x}$ являются взаимно обратными. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x-2}}$. Исходя из ОДЗ, выражение под корнем всегда положительно, следовательно, $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x-2}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-2}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 5$

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):

$y^2 + 6 = 5y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда легко найти корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Оба найденных значения для $y$ положительны, поэтому они оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $y = 2$

$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-2} = 4$

$x = 4(x-2)$

$x = 4x - 8$

$3x = 8$

$x_1 = \frac{8}{3}$

Проверим, соответствует ли этот корень ОДЗ. Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} > 2$, корень $x_1 = \frac{8}{3}$ является решением.

Случай 2: $y = 3$

$\sqrt{\frac{x}{x-2}} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x}{x-2} = 9$

$x = 9(x-2)$

$x = 9x - 18$

$8x = 18$

$x_2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Проверим этот корень. Так как $\frac{9}{4} = 2.25 > 2$, корень $x_2 = \frac{9}{4}$ также является решением.

Итак, мы получили два корня: $\frac{8}{3}$ и $\frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}; \frac{8}{3}$

Берілген $\sqrt{4 - 3x} < 2$ теңсіздігін шешу үшін алдымен оның анықталу облысын (мүмкін мәндер жиынын) табамыз. Квадрат түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек, яғни нөлге тең немесе оң болуы тиіс:
$4 - 3x \ge 0$
Осыдан $x$-ті табамыз:
$-3x \ge -4$
Теңсіздіктің екі жағын -1-ге көбейткенде (немесе бөлгенде) теңсіздік белгісі қарама-қарсыға өзгереді:
$3x \le 4$
$x \le \frac{4}{3}$

Енді негізгі теңсіздікті шешеміз. Теңсіздіктің екі жағы да оң сандар болғандықтан ($\sqrt{4-3x} \ge 0$ және $2>0$), екі жағын да квадратқа шығаруға болады. Бұл теңсіздік белгісін өзгертпейді:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 < 2^2$
$4 - 3x < 4$
Теңсіздіктің екі жағынан да 4-ті азайтамыз:
$-3x < 0$
Теңсіздіктің екі жағын -3-ке бөлгенде, теңсіздік белгісі тағы да қарама-қарсыға өзгереді:
$x > 0$

Енді алынған екі шартты біріктіреміз:
1) $x \le \frac{4}{3}$
2) $x > 0$
Бұл екі шартты қанағаттандыратын $x$-тің мәндері келесі аралықта жатады:
$0 < x \le \frac{4}{3}$

Есептің шарты бойынша осы теңсіздікті қанағаттандыратын ең үлкен бүтін санды табу керек. $\frac{4}{3}$ ондық бөлшек түрінде шамамен $1.33$-ке тең. Демек, біз $(0; 1.33...]$ аралығындағы ең үлкен бүтін санды іздейміз. Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан 1 болып табылады.

Ответ: 1