Страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}, x_{0} = 1$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^{\frac{3}{4}} = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{3}{4}})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{3}{4} \cdot 1^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{3}{4}(x - 1)$
$y = 1 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$.

2) $f(x) = x^{\frac{4}{5}}, x_{0} = -1$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^4 = (-1)^4 = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{4}{5} \cdot (-1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{(-1)^{\frac{1}{5}}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{-1}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{4}{5}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + (-\frac{4}{5})(x - (-1))$
$y = 1 - \frac{4}{5}(x + 1)$
$y = 1 - \frac{4}{5}x - \frac{4}{5}$
$y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.

Ответ: $y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.

1)

Даны кривые: $y=\sqrt{x}$, $y=1$, $x=9$.

Для нахождения области интегрирования определим точки пересечения кривых. Найдем точку пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=1$:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, кривые пересекаются в точке $(1, 1)$.

Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена сверху кривой $y=\sqrt{x}$, снизу прямой $y=1$, слева прямой $x=1$ и справа прямой $x=9$.

Графическое представление фигуры:

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — функция, ограничивающая фигуру сверху, а $g(x)$ — снизу.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 1$, а пределы интегрирования — от $a=1$ до $b=9$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{1}^{9} (\sqrt{x} - 1) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sqrt{x} - 1) dx = \int (x^{1/2} - 1) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - x = \frac{x^{3/2}}{3/2} - x = \frac{2}{3}x^{3/2} - x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x \right]_{1}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 9\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - 1\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 9\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = (18 - 9) - \left(-\frac{1}{3}\right) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$.

Ответ: $ \frac{28}{3} $

2)

Даны кривые: $y=\frac{1}{x^2}$, $y=1$, $x=-3$, $x=-2$.

Рассмотрим поведение функций на отрезке $[-3, -2]$. Для любого $x$ из этого отрезка $x^2$ находится в диапазоне $[4, 9]$, следовательно, $\frac{1}{x^2}$ находится в диапазоне $[\frac{1}{9}, \frac{1}{4}]$.

Поскольку на всем отрезке $[-3, -2]$ выполняется неравенство $\frac{1}{x^2} \le 1$, кривая $y=\frac{1}{x^2}$ расположена ниже прямой $y=1$.

Таким образом, фигура ограничена сверху прямой $y=1$, снизу кривой $y=\frac{1}{x^2}$, слева прямой $x=-3$ и справа прямой $x=-2$.

Графическое представление фигуры:

Площадь фигуры вычисляется по той же формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$.

Здесь $f(x) = 1$ (верхняя граница), $g(x) = \frac{1}{x^2}$ (нижняя граница), а пределы интегрирования — от $a=-3$ до $b=-2$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Находим первообразную:

$\int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-2+1}}{-1} = x + \frac{1}{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{-3}^{-2} = \left(-2 + \frac{1}{-2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{-3}\right)$

$S = \left(-2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-3 - \frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{2} - \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{-15 + 20}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $ \frac{5}{6} $

1) $f(x) = x\sqrt{x}$;
Для нахождения производной, сначала преобразуем функцию, представив корень в виде степени:
$f(x) = x \cdot x^{1/2}$
Используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, получаем:
$f(x) = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$
Теперь применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$
Можно записать ответ в виде корня:
$f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;
Это степенная функция вида $f(x) = x^n$, где $n = \sqrt{3}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$
Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$

3) $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$;
Преобразуем функцию, используя свойство $1/a^n = a^{-n}$:
$f(x) = x^{-3/4}$
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-\frac{4}{4}} = -\frac{3}{4}x^{-7/4}$
Можно записать ответ с положительной степенью в знаменателе:
$f'(x) = -\frac{3}{4x^{7/4}}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{4}x^{-7/4}$

4) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$;
Сначала преобразуем функцию к степенному виду:
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
$f(x) = \frac{3}{x^{1/3}} = 3x^{-1/3}$
Теперь находим производную, используя правило дифференцирования произведения константы на функцию и формулу для степенной функции:
$f'(x) = 3 \cdot (x^{-1/3})' = 3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1}$
$f'(x) = -1 \cdot x^{-\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} = -x^{-4/3}$
Можно записать ответ с положительной степенью в знаменателе:
$f'(x) = -\frac{1}{x^{4/3}}$
Ответ: $f'(x) = -x^{-4/3}$

5) $f(x) = x^3\sqrt[3]{x^2}$;
Преобразуем функцию к виду $x^n$:
$\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
$f(x) = x^3 \cdot x^{2/3}$
Используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, получаем:
$f(x) = x^{3 + 2/3} = x^{9/3 + 2/3} = x^{11/3}$
Теперь находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-1} = \frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{11}{3}x^{8/3}$
Ответ: $f'(x) = \frac{11}{3}x^{8/3}$

6) $f(x) = \frac{x+5}{x^4}$.
Для нахождения производной можно использовать правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или сначала упростить выражение.
Второй способ проще. Разделим числитель на знаменатель почленно:
$f(x) = \frac{x}{x^4} + \frac{5}{x^4} = x^{1-4} + 5x^{-4} = x^{-3} + 5x^{-4}$
Теперь находим производную как сумму производных:
$f'(x) = (x^{-3})' + (5x^{-4})' = -3x^{-3-1} + 5(-4)x^{-4-1}$
$f'(x) = -3x^{-4} - 20x^{-5}$
Можно привести к общему знаменателю:
$f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x}{x^5} - \frac{20}{x^5} = \frac{-3x - 20}{x^5}$
Ответ: $f'(x) = \frac{-3x - 20}{x^5}$

1) Дана функция: $f(x) = 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся формулой интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 5x^{-\frac{4}{5}} dx = 5 \int x^{-\frac{4}{5}} dx = 5 \cdot \frac{x^{-\frac{4}{5}+1}}{-\frac{4}{5}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}} + C = 25x^{\frac{1}{5}} + C = 25\sqrt[5]{x} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(25x^{\frac{1}{5}} + C)' = 25 \cdot (\frac{1}{5})x^{\frac{1}{5}-1} + 0 = 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Результат совпадает с исходной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $25\sqrt[5]{x} + C$.

2) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Сначала преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{-\frac{4}{3}}$.

Теперь найдем интеграл:

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(-3x^{-\frac{1}{3}} + C)' = -3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} + 0 = x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Результат совпадает с исходной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

3) Дана функция: $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^3}$.

Сначала упростим функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{2x^{-1}}{4x^3} + \frac{3x}{4x^3} = \frac{1}{2}x^{-1-3} + \frac{3}{4}x^{1-3} = \frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}$.

Теперь найдем интеграл от суммы функций:

$\int (\frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}) dx = \frac{1}{2}\int x^{-4}dx + \frac{3}{4}\int x^{-2}dx = \frac{1}{2}\frac{x^{-4+1}}{-4+1} + \frac{3}{4}\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$

$= \frac{1}{2}\frac{x^{-3}}{-3} + \frac{3}{4}\frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{6}x^{-3} - \frac{3}{4}x^{-1} + C = -\frac{1}{6x^3} - \frac{3}{4x} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(-\frac{1}{6}x^{-3} - \frac{3}{4}x^{-1} + C)' = -\frac{1}{6}(-3)x^{-3-1} - \frac{3}{4}(-1)x^{-1-1} + 0 = \frac{3}{6}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2} = \frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}$.

Результат совпадает с упрощенной формой исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $-\frac{1}{6x^3} - \frac{3}{4x} + C$.

4) Дана функция: $f(x) = (x^5 + x)^2$.

Сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$f(x) = (x^5)^2 + 2 \cdot x^5 \cdot x + x^2 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Теперь найдем интеграл:

$\int (x^{10} + 2x^6 + x^2) dx = \int x^{10}dx + \int 2x^6dx + \int x^2dx = \frac{x^{11}}{11} + 2\frac{x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(\frac{x^{11}}{11} + \frac{2x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C)' = \frac{1}{11}(11x^{10}) + \frac{2}{7}(7x^6) + \frac{1}{3}(3x^2) + 0 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Этот результат совпадает с функцией после раскрытия скобок, которая, в свою очередь, равна исходной функции: $x^{10} + 2x^6 + x^2 = (x^5 + x)^2$.

Следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\frac{x^{11}}{11} + \frac{2x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} + x$.

Используя свойство аддитивности интеграла, можем записать: $F(x) = \int (\sqrt{x} + x)dx = \int x^{1/2}dx + \int xdx$.

По таблице первообразных для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем: $\int x^{1/2}dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. $\int xdx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Таким образом, первообразная для $f(x)$ равна $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x)dx = \left( \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{1}^{9} = \left( \frac{2}{3}(9)^{3/2} + \frac{9^2}{2} \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{1^2}{2} \right)$.

Вычислим значения в точках 9 и 1: $F(9) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3}(3)^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{81}{2} = 18 + 40,5 = 58,5$. $F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.

Найдем разность: $F(9) - F(1) = 58,5 - \frac{7}{6} = \frac{117}{2} - \frac{7}{6} = \frac{351}{6} - \frac{7}{6} = \frac{344}{6} = \frac{172}{3}$.

Ответ: $\frac{172}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx$ воспользуемся формулой для интегрирования сложной функции вида $(kx+b)^n$.

Первообразная для функции $f(x) = (kx+b)^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.

В нашем случае $k = 0,25 = \frac{1}{4}$, $b=3$, $n=3$. $F(x) = \int (0,25x + 3)^3 dx = \frac{(0,25x + 3)^{3+1}}{0,25 \cdot (3+1)} = \frac{(0,25x + 3)^4}{0,25 \cdot 4} = (0,25x + 3)^4$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx = \left( (0,25x + 3)^4 \right) \bigg|_{-1}^{1} = (0,25 \cdot 1 + 3)^4 - (0,25 \cdot (-1) + 3)^4$.

Вычислим значения: $(0,25 + 3)^4 - (-0,25 + 3)^4 = (3,25)^4 - (2,75)^4$.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $3,25 = \frac{13}{4}$ и $2,75 = \frac{11}{4}$. $(\frac{13}{4})^4 - (\frac{11}{4})^4 = \frac{13^4}{4^4} - \frac{11^4}{4^4} = \frac{13^4 - 11^4}{4^4}$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $13^4 - 11^4 = (13^2)^2 - (11^2)^2 = (13^2 - 11^2)(13^2 + 11^2) = ((13-11)(13+11))(169+121) = (2 \cdot 24)(290) = 48 \cdot 290 = 13920$. Знаменатель равен $4^4 = 256$.

Получаем дробь $\frac{13920}{256}$. Сократим её: $\frac{13920}{256} = \frac{6960}{128} = \frac{3480}{64} = \frac{1740}{32} = \frac{870}{16} = \frac{435}{8}$.

Ответ: $\frac{435}{8}$.

$F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясы үшін алғашқы функция екенін дәлелдеу үшін $F(x)$ функциясының туындысын тауып, оның $f(x)$-ке тең екенін көрсету керек. Яғни, $F'(x) = f(x)$ екенін тексеруіміз қажет.

Алдымен $F(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{6} \cdot \cos\frac{x}{6}$ функциясын ықшамдап алайық. Бұл үшін қос бұрыштың синусы формуласын $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ пайдаланамыз. Бұл формуладан $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$ екені шығады.

Біздің жағдайымызда $\alpha = \frac{x}{6}$. Осыны формулаға қойып, $F(x)$ функциясын түрлендіреміз:

$F(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{6}\right) \right) = \frac{1}{4}\sin\left(\frac{2x}{6}\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}$.

Енді $F(x)$ функциясының ықшамдалған түрінен туынды табамыз:

$F'(x) = \left( \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3} \right)'$.

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша:

$F'(x) = \frac{1}{4} \cdot \left( \sin\frac{x}{3} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4} \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}$.

$F'(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Алынған нәтижені берілген $f(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$ функциясымен салыстырамыз.

Көріп отырғанымыздай, $F'(x) = f(x)$. Бұл $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы екенін білдіреді.

Ответ: $F(x)$ функциясының туындысы $F'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}\right)' = \left(\frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{3} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$. $F'(x) = f(x)$ болғандықтан, $F(x)$ функциясы $f(x)$ үшін алғашқы функция болып табылады.

Берілген функция: $f(x) = \left(\frac{x+3}{2}\right)^3$.

Алғашқы функцияны табу үшін алдымен берілген функцияны ықшамдап аламыз:

$f(x) = \frac{(x+3)^3}{2^3} = \frac{1}{8}(x+3)^3$

Енді осы функцияның жалпы алғашқы функциясын (анықталмаған интегралын) табамыз. Жалпы алғашқы функция $F(x) = \int f(x)dx$.

$F(x) = \int \frac{1}{8}(x+3)^3 dx$

Тұрақты көбейткішті $\frac{1}{8}$ интеграл белгісінің алдына шығарамыз:

$F(x) = \frac{1}{8} \int (x+3)^3 dx$

Күрделі функцияны интегралдау үшін $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$ формуласын қолданамыз. Біздің жағдайда $k=1$, $b=3$, $n=3$.

$F(x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(x+3)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{8} \cdot \frac{(x+3)^4}{4} + C = \frac{(x+3)^4}{32} + C$

Сонымен, функцияның барлық алғашқы функцияларының жиыны $F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} + C$ формуласымен өрнектеледі, мұндағы $C$ — кез келген тұрақты сан.

Есептің шарты бойынша, ізделінді алғашқы функция $M(0; 0)$ нүктесі арқылы өтеді. Бұл дегеніміз, $x=0$ болғанда $F(x)=0$ болады. Осы шартты пайдаланып, $C$ тұрақтысының мәнін табамыз:

$F(0) = \frac{(0+3)^4}{32} + C = 0$

$\frac{3^4}{32} + C = 0$

$\frac{81}{32} + C = 0$

$C = -\frac{81}{32}$

Енді $C$ тұрақтысының табылған мәнін жалпы алғашқы функцияның формуласына қоямыз:

$F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$

Бұл өрнекті ортақ бөлімге келтіріп жазуға болады:

$F(x) = \frac{(x+3)^4 - 81}{32}$

Ответ: $F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции, получаем: $F(x) = \int 3x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$. Теперь подставим пределы интегрирования $a=-3$ и $b=-2$: $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2} dx = \left. -\frac{3}{x} \right|_{-3}^{-2} = \left(-\frac{3}{-2}\right) - \left(-\frac{3}{-3}\right) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3-2}{2} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение: $\frac{1}{\sqrt[5]{x}} = x^{-\frac{1}{5}}$. Теперь интеграл имеет вид $\int_{1}^{32} x^{-\frac{1}{5}} dx$. Найдем первообразную для $f(x) = x^{-\frac{1}{5}}$ по формуле для степенной функции: $F(x) = \int x^{-\frac{1}{5}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1} = \frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=32$: $\int_{1}^{32} x^{-\frac{1}{5}} dx = \left. \frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}} \right|_{1}^{32} = \frac{5}{4}(32)^{\frac{4}{5}} - \frac{5}{4}(1)^{\frac{4}{5}}$. Так как $32 = 2^5$, то $(32)^{\frac{4}{5}} = (2^5)^{\frac{4}{5}} = 2^4 = 16$. Вычисляем значение: $\frac{5}{4} \cdot 16 - \frac{5}{4} \cdot 1 = 5 \cdot 4 - \frac{5}{4} = 20 - \frac{5}{4} = \frac{80}{4} - \frac{5}{4} = \frac{75}{4}$. Ответ: $\frac{75}{4}$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} (\frac{1}{3}x+x)^2 dx$ сначала упростим подынтегральное выражение. Выражение в скобках равно $\frac{1}{3}x+x = (\frac{1}{3}+1)x = \frac{4}{3}x$. Тогда подынтегральная функция равна $(\frac{4}{3}x)^2 = \frac{16}{9}x^2$. Интеграл принимает вид $\int_{1}^{3} \frac{16}{9}x^2 dx$. Найдем первообразную для $f(x) = \frac{16}{9}x^2$: $F(x) = \int \frac{16}{9}x^2 dx = \frac{16}{9} \int x^2 dx = \frac{16}{9} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{16}{9} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{16}{27}x^3$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=3$: $\int_{1}^{3} \frac{16}{9}x^2 dx = \left. \frac{16}{27}x^3 \right|_{1}^{3} = \frac{16}{27}(3)^3 - \frac{16}{27}(1)^3 = \frac{16}{27} \cdot 27 - \frac{16}{27} \cdot 1 = 16 - \frac{16}{27} = \frac{16 \cdot 27 - 16}{27} = \frac{432 - 16}{27} = \frac{416}{27}$. Ответ: $\frac{416}{27}$.