Номер 165, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция: $f(x) = 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся формулой интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 5x^{-\frac{4}{5}} dx = 5 \int x^{-\frac{4}{5}} dx = 5 \cdot \frac{x^{-\frac{4}{5}+1}}{-\frac{4}{5}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}} + C = 25x^{\frac{1}{5}} + C = 25\sqrt[5]{x} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(25x^{\frac{1}{5}} + C)' = 25 \cdot (\frac{1}{5})x^{\frac{1}{5}-1} + 0 = 5x^{-\frac{4}{5}}$.

Результат совпадает с исходной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $25\sqrt[5]{x} + C$.

2) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Сначала преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{-\frac{4}{3}}$.

Теперь найдем интеграл:

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(-3x^{-\frac{1}{3}} + C)' = -3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} + 0 = x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Результат совпадает с исходной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

3) Дана функция: $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^3}$.

Сначала упростим функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{2x^{-1}}{4x^3} + \frac{3x}{4x^3} = \frac{1}{2}x^{-1-3} + \frac{3}{4}x^{1-3} = \frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}$.

Теперь найдем интеграл от суммы функций:

$\int (\frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}) dx = \frac{1}{2}\int x^{-4}dx + \frac{3}{4}\int x^{-2}dx = \frac{1}{2}\frac{x^{-4+1}}{-4+1} + \frac{3}{4}\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$

$= \frac{1}{2}\frac{x^{-3}}{-3} + \frac{3}{4}\frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{6}x^{-3} - \frac{3}{4}x^{-1} + C = -\frac{1}{6x^3} - \frac{3}{4x} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(-\frac{1}{6}x^{-3} - \frac{3}{4}x^{-1} + C)' = -\frac{1}{6}(-3)x^{-3-1} - \frac{3}{4}(-1)x^{-1-1} + 0 = \frac{3}{6}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2} = \frac{1}{2}x^{-4} + \frac{3}{4}x^{-2}$.

Результат совпадает с упрощенной формой исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $-\frac{1}{6x^3} - \frac{3}{4x} + C$.

4) Дана функция: $f(x) = (x^5 + x)^2$.

Сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$f(x) = (x^5)^2 + 2 \cdot x^5 \cdot x + x^2 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Теперь найдем интеграл:

$\int (x^{10} + 2x^6 + x^2) dx = \int x^{10}dx + \int 2x^6dx + \int x^2dx = \frac{x^{11}}{11} + 2\frac{x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.

Проверка: продифференцируем полученный результат.

$(\frac{x^{11}}{11} + \frac{2x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C)' = \frac{1}{11}(11x^{10}) + \frac{2}{7}(7x^6) + \frac{1}{3}(3x^2) + 0 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Этот результат совпадает с функцией после раскрытия скобок, которая, в свою очередь, равна исходной функции: $x^{10} + 2x^6 + x^2 = (x^5 + x)^2$.

Следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\frac{x^{11}}{11} + \frac{2x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.