Номер 170, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = -x^2 + 2x$ и $y = -3$.

Сначала найдём точки пересечения графиков функций, для этого приравняем их уравнения:

$-x^2 + 2x = -3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Эти значения являются пределами интегрирования: от $a = -1$ до $b = 3$.

В интервале $[-1, 3]$ парабола $y = -x^2 + 2x$ находится выше прямой $y = -3$ (например, при $x=0$, $y=0$, что больше чем $-3$).

Фигура, площадь которой нужно найти, изображена на графике:

Площадь $S$ фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ - верхняя функция, а $g(x)$ - нижняя.

$S = \int_{-1}^{3} ((-x^2 + 2x) - (-3)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$\int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{27}{3} + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = (-9 + 18) - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$

2)

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = \sqrt{x}$, $y = 2$ и $x = 9$.

Определим точки пересечения линий, ограничивающих фигуру:

1. $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$ пересекаются при $\sqrt{x} = 2$, то есть $x = 4$. Точка пересечения: $(4, 2)$.

2. $y = \sqrt{x}$ и $x = 9$ пересекаются при $y = \sqrt{9} = 3$. Точка пересечения: $(9, 3)$.

3. Прямые $y = 2$ и $x = 9$ пересекаются в точке $(9, 2)$.

Фигура расположена в интервале от $x=4$ до $x=9$. В этом интервале график функции $y=\sqrt{x}$ лежит выше прямой $y=2$. Графическое представление фигуры:

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx$

Находим первообразную:

$\int (\sqrt{x} - 2) dx = \int (x^{1/2} - 2) dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - 2x\right]_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 2 \cdot 9\right) - \left(\frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 \cdot 4\right)$

$S = \left(\frac{2}{3}(3^3) - 18\right) - \left(\frac{2}{3}(2^3) - 8\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - 8\right)$

$S = (18 - 18) - \left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$