Номер 167, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясы үшін алғашқы функция екенін дәлелдеу үшін $F(x)$ функциясының туындысын тауып, оның $f(x)$-ке тең екенін көрсету керек. Яғни, $F'(x) = f(x)$ екенін тексеруіміз қажет.

Алдымен $F(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{6} \cdot \cos\frac{x}{6}$ функциясын ықшамдап алайық. Бұл үшін қос бұрыштың синусы формуласын $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ пайдаланамыз. Бұл формуладан $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$ екені шығады.

Біздің жағдайымызда $\alpha = \frac{x}{6}$. Осыны формулаға қойып, $F(x)$ функциясын түрлендіреміз:

$F(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{6}\right) \right) = \frac{1}{4}\sin\left(\frac{2x}{6}\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}$.

Енді $F(x)$ функциясының ықшамдалған түрінен туынды табамыз:

$F'(x) = \left( \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3} \right)'$.

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша:

$F'(x) = \frac{1}{4} \cdot \left( \sin\frac{x}{3} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4} \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}$.

$F'(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Алынған нәтижені берілген $f(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$ функциясымен салыстырамыз.

Көріп отырғанымыздай, $F'(x) = f(x)$. Бұл $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы екенін білдіреді.

Ответ: $F(x)$ функциясының туындысы $F'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}\right)' = \left(\frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{3} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$. $F'(x) = f(x)$ болғандықтан, $F(x)$ функциясы $f(x)$ үшін алғашқы функция болып табылады.