Номер 177, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$, $y = 0$, $x = 5$ и $y = \frac{1}{x^2}$ (при $x \ge 0$), сначала необходимо проанализировать расположение этих кривых. Фигура представляет собой область, заключенную между кривыми $y=x^2$ и $y=\frac{1}{x^2}$ и ограниченную справа прямой $x=5$. Левая граница области определяется точкой пересечения данных кривых.

Найдем точку пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x^2}$:

$x^2 = \frac{1}{x^2}$

$x^4 = 1$

Так как по условию $x \ge 0$, то решением является $x=1$.

Таким образом, область интегрирования находится в пределах от $x=1$ до $x=5$.

Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на интервале $[1, 5]$. Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=2$:

Для $y=x^2$: $y(2) = 2^2 = 4$.

Для $y=\frac{1}{x^2}$: $y(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Поскольку $4 > \frac{1}{4}$, на всем интервале $[1, 5]$ кривая $y=x^2$ расположена выше кривой $y=\frac{1}{x^2}$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{5} \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Вычислим этот определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{5} (x^2 - x^{-2}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{5} = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{5}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{5^3}{3} + \frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1^3}{3} + \frac{1}{1}\right) = \left(\frac{125}{3} + \frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right)$

$S = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - 1 = \frac{124}{3} + \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = \frac{124}{3} - \frac{4}{5}$

$S = \frac{124 \cdot 5 - 4 \cdot 3}{15} = \frac{620 - 12}{15} = \frac{608}{15}$

Ниже приведена графическая иллюстрация искомой области.

Ответ: $S = \frac{608}{15}$

2)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 0$.

Область интегрирования задана отрезком $[-1, 0]$. Нам нужно определить, какая из функций больше на этом интервале, чтобы правильно составить интеграл.

Возьмем пробную точку из интервала $(-1, 0)$, например, $x = -1/2$:

Для $y = x^3$: $y(-1/2) = (-1/2)^3 = -1/8$.

Для $y = \sqrt[3]{x}$: $y(-1/2) = \sqrt[3]{-1/2} = -1/\sqrt[3]{2}$.

Сравним числа $-1/8$ и $-1/\sqrt[3]{2}$. Так как $2 < 8$, то $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{8}=2$. Следовательно, $1/\sqrt[3]{2} > 1/2$. Тогда $-1/\sqrt[3]{2} < -1/2$. Очевидно, что $-1/8 > -1/2$. Значит, на интервале $(-1, 0)$ выполняется неравенство $x^3 > \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, кривая $y=x^3$ является верхней границей, а $y=\sqrt[3]{x}$ — нижней.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - \sqrt[3]{x}) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^{1/3}) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{-1}^{0}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{3}{4}(-1)^{4/3}\right)$

Учтем, что $(-1)^{4/3} = (\sqrt[3]{-1})^4 = (-1)^4 = 1$.

$S = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1\right) = - \left(\frac{1 - 3}{4}\right) = - \left(-\frac{2}{4}\right) = \frac{1}{2}$

Ниже приведена графическая иллюстрация искомой области.

Ответ: $S = \frac{1}{2}$