Вопросы, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Егер $\alpha$ және $\beta$ рационал сандар және $\alpha = \frac{m}{n}$ немесе $\beta = \frac{m}{n}$ болса, онда $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ және $\int x^\beta dx = \frac{x^{\beta+1}}{\beta+1} + C$ формулаларындағы $\frac{m}{n}$ неге қысқартылмайтын бөлшек болу керек?

Бұл талап степендік функция $y = x^{\frac{m}{n}}$ анықталу облысының бірмәнділігін қамтамасыз ету үшін қажет, әсіресе $x$ теріс мәндер қабылдағанда.

Степендік функцияның рационал көрсеткішпен анықтамасы $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$ болып табылады. Бұл функцияның анықталу облысы $n$ бөлшегінің бөлімінің жұп немесе тақ болуына байланысты.

1. Егер $n$ – жұп сан болса, онда $x^m$ оң болуы керек, яғни функция тек $x \ge 0$ үшін анықталған (егер $m$ жұп болса, барлық $x$ үшін, бірақ түбірдің өзі $x \ge 0$ талап етеді). Мысалы, $\sqrt[2]{-4}$ нақты сандар жиынында анықталмаған.

2. Егер $n$ – тақ сан болса, онда функция барлық нақты $x$ үшін анықталған. Мысалы, $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Егер $\frac{m}{n}$ бөлшегі қысқартылатын болса, оны басқа эквивалентті, бірақ бөлімі басқа бөлшекпен алмастыруға болады. Бұл функцияның анықталу облысын өзгертіп, екіұштылыққа әкелуі мүмкін.

Мысал қарастырайық: $y = x^{\frac{1}{3}}$ және оған эквивалентті $y = x^{\frac{2}{6}}$ функциялары.

- $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$. Бұл функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар ($x \in \mathbb{R}$). Мысалы, $x = -27$ болса, $y = \sqrt[3]{-27} = -3$.

- Егер $y = x^{\frac{2}{6}}$ деп алып, оны $y = \sqrt[6]{x^2}$ деп анықтасақ, $x^2$ әрқашан оң болғандықтан, анықталу облысы $x \in \mathbb{R}$ болады. Бірақ егер оны $(\sqrt[6]{x})^2$ деп анықтасақ, онда $x \ge 0$ болуы керек, себебі теріс саннан 6-дәрежелі түбір алуға болмайды. $x = -27$ үшін $(\sqrt[6]{-27})^2$ анықталмаған.

Осындай екіұштылықты болдырмау үшін және дифференциалдау мен интегралдау формулаларын бүкіл анықталу облысында дұрыс қолдану үшін, рационал көрсеткіш $\frac{m}{n}$ қысқартылмайтын бөлшек түрінде алынуы керек. Бұл $n$ бөлімінің жұптылығын бекітеді және функцияның анықталу облысын бірмағыналы етеді.

Ответ: $\frac{m}{n}$ бөлшегінің қысқартылмайтын болуы $y=x^{\frac{m}{n}}$ функциясының анықталу облысын, әсіресе $x$ теріс болғанда, бірмағыналы анықтау үшін қажет. Қысқартылатын бөлшектерді пайдалану функцияның анықталуында екіұштылық тудыруы мүмкін, бұл дифференциалдау және интегралдау формулаларын қолдану кезінде қателіктерге әкеледі.

2. 1-4-мысалдарда дәреженің қандай қасиеттері қолданылды?

Суретте 1-4 мысалдар көрсетілмеген. Алайда, рационал көрсеткішті функцияларды дифференциалдау және интегралдауға байланысты есептерде әдетте өрнектерді $x^k$ түріне келтіру үшін дәреженің келесі негізгі қасиеттері қолданылады:

1.Рационал көрсеткішті дәреженің анықтамасы: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Бұл қасиет түбірлерді дәрежеге айналдыру үшін қолданылады.

2.Теріс көрсеткішті дәреже: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Бұл қасиет бөлшектің бөліміндегі дәрежені алымына шығару үшін қажет.

3.Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Бірнеше көбейткішті бір дәрежеге келтіру үшін қолданылады.

4.Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу: $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$. Бөлшектерді ықшамдау үшін қолданылады.

5.Дәрежені дәрежеге шығару: $(x^a)^b = x^{ab}$. Күрделі дәрежелік өрнектерді ықшамдау үшін қажет.

Осы қасиеттерді қолдану арқылы күрделі өрнектерді интегралдауға немесе дифференциалдауға ыңғайлы $x^k$ стандартты түріне келтіруге болады.

Ответ: 1-4 мысалдар берілмегендіктен, ең ықтимал қолданылған дәреже қасиеттерінің тізімі: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$, $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ және $(x^a)^b = x^{ab}$.