Номер 151, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Функция $f(x) = x^{11}$. Показатель степени $p=11$ - нечетное целое число. Область определения функции - все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Поскольку показатель степени нечетный, знак функции совпадает со знаком аргумента $x$.

При $x > 0$ функция $f(x) > 0$.

При $x < 0$ функция $f(x) < 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Функция $f(x) = x^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x}$. Показатель степени $p = 1/9$. Так как знаменатель показателя (9) нечетный, область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[9]{x}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x$.

При $x > 0$ функция $f(x) > 0$.

При $x < 0$ функция $f(x) < 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

3) Функция $f(x) = x^{-8} = \frac{1}{x^8}$. Показатель степени $p=-8$ - отрицательное четное целое число. Область определения функции: $x^8 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Знаменатель $x^8$ всегда положителен для любого $x$ из области определения, так как любое ненулевое число в четной степени положительно.

Следовательно, функция $f(x)$ положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = x^{\frac{11}{12}} = \sqrt[12]{x^{11}}$. Показатель степени $p = 11/12$. Так как знаменатель показателя (12) - четное число, функция определена для неотрицательных значений $x$, при которых подкоренное выражение $x^{11}$ неотрицательно. Условие $x^{11} \ge 0$ выполняется при $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.

При $x > 0$, $x^{11} > 0$, и корень четной степени из положительного числа положителен, значит $f(x) > 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = x^{\frac{12}{13}} = \sqrt[13]{x^{12}}$. Показатель степени $p = 12/13$. Знаменатель показателя (13) - нечетный, поэтому область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Выражение под корнем, $x^{12}$, неотрицательно для всех $x$, так как показатель степени (12) четный. При $x \neq 0$, $x^{12} > 0$.

Корень нечетной степени из положительного числа положителен. Таким образом, $f(x) = \sqrt[13]{x^{12}} > 0$ для всех $x \neq 0$.

Следовательно, функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6) Функция $f(x) = x^{\frac{15}{17}} = \sqrt[17]{x^{15}}$. Показатель степени $p = 15/17$. И числитель (15), и знаменатель (17) показателя - нечетные числа. Так как знаменатель нечетный, область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[17]{x^{15}}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x^{15}$. В свою очередь, знак $x^{15}$ совпадает со знаком $x$, так как 15 - нечетное число.

При $x > 0$ имеем $f(x) > 0$.

При $x < 0$ имеем $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

7) Функция $f(x) = x^{-\frac{7}{10}} = \frac{1}{x^{7/10}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^7}}$. Показатель степени $p = -7/10$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Так как знаменатель дроби в показателе (10) четный, подкоренное выражение $x^7$ должно быть неотрицательным: $x^7 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Объединяя условия ($x \neq 0$ и $x \ge 0$), получаем $x > 0$. Область определения $D(f) = (0; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения ($x > 0$), $x^7 > 0$, $\sqrt[10]{x^7} > 0$, и вся дробь $f(x)$ положительна.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = x^{-\frac{8}{13}} = \frac{1}{x^{8/13}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}}$. Показатель степени $p = -8/13$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Знаменатель дроби в показателе (13) нечетный, поэтому функция определена для всех $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим знак знаменателя $\sqrt[13]{x^8}$. Выражение под корнем $x^8$ всегда положительно для $x \neq 0$ (четная степень). Корень нечетной степени из положительного числа положителен. Значит, знаменатель всегда положителен.

Следовательно, функция $f(x)$ положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) Функция $f(x) = x^{-\frac{11}{13}} = \frac{1}{x^{11/13}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^{11}}}$. Показатель степени $p = -11/13$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Знаменатель дроби в показателе (13) нечетный, поэтому функция определена для всех $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим знак знаменателя $\sqrt[13]{x^{11}}$. Знак этого выражения совпадает со знаком $x^{11}$, который, в свою очередь, совпадает со знаком $x$ (так как 11 - нечетное число).

При $x > 0$ знаменатель положителен, и $f(x) > 0$.

При $x < 0$ знаменатель отрицателен, и $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.