Номер 145, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное неравенство: $\sqrt{5x+6} - \sqrt{x+1} > \sqrt{2x-5}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 5x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6/5 \\ x \ge -1 \\ x \ge 5/2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 2,5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2,5; +\infty)$.

Перенесем радикал из левой части в правую, чтобы обе части неравенства стали положительными:
$\sqrt{5x+6} > \sqrt{2x-5} + \sqrt{x+1}$
Так как на ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{5x+6})^2 > (\sqrt{2x-5} + \sqrt{x+1})^2$
$5x+6 > (2x-5) + 2\sqrt{(2x-5)(x+1)} + (x+1)$
$5x+6 > 3x - 4 + 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$
Уединим оставшийся радикал:
$2x + 10 > 2\sqrt{2x^2 - 3x - 5}$
$x + 5 > \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$

В области $x \ge 2,5$ левая часть $x+5$ всегда положительна. Поэтому мы можем снова возвести обе части в квадрат:
$(x+5)^2 > 2x^2 - 3x - 5$
$x^2 + 10x + 25 > 2x^2 - 3x - 5$
$0 > x^2 - 13x - 30$
$x^2 - 13x - 30 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 13x - 30 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 15$.
Так как парабола $y = x^2 - 13x - 30$ ветвями вверх, неравенство $x^2 - 13x - 30 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2; 15)$.

Теперь найдем пересечение полученного интервала с ОДЗ:
$x \in (-2; 15) \cap [2,5; +\infty)$
Это дает нам интервал $[2,5; 15)$.

Ответ: $x \in [2,5; 15)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2-8x+15} > \sqrt{4x^2-18x+18} - \sqrt{x^2+2x-15}$.
Перенесем радикал в левую часть:
$\sqrt{x^2-8x+15} + \sqrt{x^2+2x-15} > \sqrt{4x^2-18x+18}$
Разложим подкоренные выражения на множители:
$x^2-8x+15 = (x-3)(x-5)$
$x^2+2x-15 = (x-3)(x+5)$
$4x^2-18x+18 = 2(2x^2-9x+9) = 2(2x-3)(x-3)$
Неравенство принимает вид:
$\sqrt{(x-3)(x-5)} + \sqrt{(x-3)(x+5)} > \sqrt{2(x-3)(2x-3)}$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} (x-3)(x-5) \ge 0 \\ (x-3)(x+5) \ge 0 \\ (x-3)(2x-3) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty) \\ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) \\ x \in (-\infty; 1,5] \cup [3; +\infty) \end{cases}$
Пересечение всех трех условий дает нам ОДЗ: $x \in (-\infty; -5] \cup \{3\} \cup [5; +\infty)$.

Рассмотрим решение на разных частях ОДЗ.
1. Если $x=3$:
Подставляем в исходное неравенство: $\sqrt{0} > \sqrt{0} - \sqrt{0}$, что дает $0 > 0$. Это неверно. Значит, $x=3$ не является решением.

2. Если $x \in [5; +\infty)$:
В этом случае $(x-3) > 0$. Мы можем вынести $\sqrt{x-3}$ из-под каждого корня и сократить на него, так как $\sqrt{x-3} \neq 0$:
$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+5} > \sqrt{2(2x-3)}$
$\sqrt{x-5} + \sqrt{x+5} > \sqrt{4x-6}$
Возводим в квадрат обе части (они обе положительны):
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x+5)} + (x+5) > 4x-6$
$2x + 2\sqrt{x^2-25} > 4x-6$
$2\sqrt{x^2-25} > 2x-6$
$\sqrt{x^2-25} > x-3$
На интервале $x \ge 5$ правая часть $x-3$ положительна. Снова возводим в квадрат:
$x^2-25 > (x-3)^2$
$x^2-25 > x^2-6x+9$
$6x > 34 \implies x > \frac{34}{6} \implies x > \frac{17}{3}$
Пересекаем полученное решение $x > 17/3$ с рассматриваемым интервалом $x \in [5; +\infty)$. Так как $17/3 \approx 5,67$, а $5 = 15/3$, то пересечение будет $x \in (17/3; +\infty)$.

3. Если $x \in (-\infty; -5]$:
В этом случае $(x-3) < 0$. Поэтому $\sqrt{(x-3)(x-5)} = \sqrt{-(3-x) \cdot -(5-x)} = \sqrt{(3-x)(5-x)}$. Аналогично для других корней. Неравенство можно переписать как:
$\sqrt{3-x}\sqrt{5-x} + \sqrt{3-x}\sqrt{-x-5} > \sqrt{3-x}\sqrt{2(3-2x)}$
Так как на этом интервале $3-x > 0$, можем сократить на $\sqrt{3-x}$:
$\sqrt{5-x} + \sqrt{-x-5} > \sqrt{6-4x}$
Возводим обе части в квадрат:
$(5-x) + 2\sqrt{(5-x)(-x-5)} + (-x-5) > 6-4x$
$-2x + 2\sqrt{x^2-25} > 6-4x$
$2\sqrt{x^2-25} > 6-2x$
$\sqrt{x^2-25} > 3-x$
На интервале $x \le -5$ правая часть $3-x$ положительна. Возводим в квадрат:
$x^2-25 > (3-x)^2$
$x^2-25 > 9-6x+x^2$
$6x > 34 \implies x > 17/3$
Нужно найти пересечение $x \in (-\infty; -5]$ и $x > 17/3$. Это пересечение пусто. Решений на этом интервале нет.

Объединяя решения из всех случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (\frac{17}{3}; +\infty)$.