Номер 144, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$. Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Пересечение этих трех условий дает нам ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

На этой области все части неравенства определены, и обе стороны неравенства являются положительными. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$

$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$

$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Теперь изолируем оставшийся радикал:

$x+3 - 2x + 3 < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Далее рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $6 - x$.

Случай 1: $6 - x < 0$, то есть $x > 6$.
В этом случае левая часть неравенства отрицательна, а правая часть ($2\sqrt{...}$) неотрицательна. Любое отрицательное число всегда меньше любого неотрицательного, поэтому неравенство выполняется для всех $x > 6$. Это решение входит в ОДЗ ($x \ge 2$), поэтому $x \in (6, +\infty)$ является частью ответа.

Случай 2: $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.
С учетом ОДЗ, мы рассматриваем интервал $x \in [2, 6]$. На этом интервале обе части неравенства $6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ неотрицательны. Мы можем снова возвести их в квадрат:

$(6-x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$

$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$

$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$

$28 < 3x^2$

$x^2 > \frac{28}{3}$

Это неравенство равносильно $|x| > \sqrt{\frac{28}{3}}$, то есть $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$ или $x < -\sqrt{\frac{28}{3}}$.
Так как мы работаем на интервале $[2, 6]$, отрицательные решения нам не подходят. Решением является $x > \sqrt{\frac{28}{3}}$. Упростим корень: $\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.
Оценим значение: $2 < \frac{2\sqrt{21}}{3} < 6$. Таким образом, решение для этого случая, с учетом интервала $[2, 6]$, будет $x \in (\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ:

$x \in (\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6] \cup (6, +\infty)$

Ответ: $x \in (\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+4} > 0$. Перепишем его в виде $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} > \sqrt{2x+4}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

$2x+4 \ge 0 \implies 2x \ge -4 \implies x \ge -2$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

На этой области все части неравенства определены, и обе стороны неравенства положительны. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2 > (\sqrt{2x+4})^2$

$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) > 2x+4$

$2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} > 2x + 4$

Изолируем радикал:

$2\sqrt{x^2 + x - 6} > 2x + 4 - (2x + 1)$

$2\sqrt{x^2 + x - 6} > 3$

$\sqrt{x^2 + x - 6} > \frac{3}{2}$

Обе части неотрицательны, снова возводим в квадрат:

$x^2 + x - 6 > (\frac{3}{2})^2$

$x^2 + x - 6 > \frac{9}{4}$

$x^2 + x - 6 - \frac{9}{4} > 0$

$x^2 + x - \frac{24+9}{4} > 0$

$x^2 + x - \frac{33}{4} > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - \frac{33}{4} = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{33}{4}) = 1 + 33 = 34$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{34}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - \frac{33}{4}$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ или $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$.

Теперь сопоставим эти решения с ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Первый корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{34}}{2}$ является отрицательным числом, поэтому интервал $x < x_1$ не пересекается с ОДЗ.

Рассмотрим второй интервал $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$. Сравним значение $\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$ с 2:

$\frac{-1 + \sqrt{34}}{2} > 2 \iff -1 + \sqrt{34} > 4 \iff \sqrt{34} > 5 \iff 34 > 25$.

Последнее неравенство верно, значит, $\frac{-1 + \sqrt{34}}{2} > 2$. Таким образом, весь интервал $x > \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}, +\infty)$.