Номер 148, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 9x + 20} \le \sqrt{x - 1} \\ \sqrt{x - 1} \le \sqrt{x^2 - 13} \end{cases} $$

Решение задачи начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$$ \begin{cases} x^2 - 9x + 20 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 13 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство ОДЗ: $x^2 - 9x + 20 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство ОДЗ: $x - 1 \ge 0$.

Отсюда следует, что $x \ge 1$, то есть $x \in [1, \infty)$.

3. Решим третье неравенство ОДЗ: $x^2 - 13 \ge 0$.

Это неравенство эквивалентно $x^2 \ge 13$, что дает $x \in (-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)$.

4. Найдем общую ОДЗ.

Для этого необходимо найти пересечение всех трех множеств решений. Учитывая, что $3 < \sqrt{13} < 4$, найдем пересечение:

$$ ((-\infty, 4] \cup [5, \infty)) \cap [1, \infty) \cap ((-\infty, -\sqrt{13}] \cup [\sqrt{13}, \infty)) $$

Пересечение первых двух множеств дает $[1, 4] \cup [5, \infty)$.

Теперь пересечем результат с третьим множеством: $([1, 4] \cup [5, \infty)) \cap [\sqrt{13}, \infty)$.

Получаем: $[\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty)$.

Итак, ОДЗ: $x \in [\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty)$.

5. Решим исходную систему неравенств.

Поскольку в области ОДЗ все части неравенств неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$$ \begin{cases} x^2 - 9x + 20 \le x - 1 \\ x - 1 \le x^2 - 13 \end{cases} $$

Упростим полученную систему:

$$ \begin{cases} x^2 - 10x + 21 \le 0 \\ x^2 - x - 12 \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 10x + 21 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$. Решением неравенства является отрезок $[3, 7]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x - 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.

Решением системы является пересечение этих двух решений: $[3, 7] \cap ((-\infty, -3] \cup [4, \infty))$, что дает нам отрезок $[4, 7]$.

6. Найдем окончательное решение.

Для этого нужно найти пересечение решения системы неравенств с найденной ранее ОДЗ:

$$ [4, 7] \cap ([\sqrt{13}, 4] \cup [5, \infty)) $$

Рассмотрим пересечение с каждым из интервалов ОДЗ отдельно:

1) $[4, 7] \cap [\sqrt{13}, 4]$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $\sqrt{13} < 4$. Пересечением этих множеств является точка $\{4\}$.

2) $[4, 7] \cap [5, \infty)$. Пересечением этих множеств является отрезок $[5, 7]$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $$ \{4\} \cup [5, 7] $$