Номер 141, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $\sqrt{x^2 + x - 2} < 2$.
Данное иррациональное неравенство равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + x - 2 < 2^2 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 + x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x - 2 < 4$, что эквивалентно $x^2 + x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-3, 2)$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -2] \cup [1, +\infty)) \cap (-3, 2)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-3, -2]$ и $[1, 2)$.
Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [1, 2)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x^2 + x + 1} < 1$.
Это неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + x + 1 \ge 0 \\ x^2 + x + 1 < 1^2 \end{cases} $
Рассмотрим первое неравенство: $x^2 + x + 1 \ge 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно. Таким образом, первое неравенство выполняется для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство: $x^2 + x + 1 < 1$, что эквивалентно $x^2 + x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x+1) < 0$.
Корни уравнения $x(x+1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Решением неравенства является интервал между корнями: $x \in (-1, 0)$.
Пересечение решений $(-\infty, +\infty)$ и $(-1, 0)$ дает $(-1, 0)$.
Ответ: $x \in (-1, 0)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 3x} > 4$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как условие $x^2 + 3x \ge 0$ будет автоматически выполнено, если $x^2 + 3x > 16$.
$x^2 + 3x > 4^2$
$x^2 + 3x > 16$
$x^2 + 3x - 16 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 16 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 16$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{73}}{2}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 5x} > 3$.
Как и в предыдущем задании, возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$x^2 - 5x > 3^2$
$x^2 - 5x > 9$
$x^2 - 5x - 9 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 9 = 0$:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 9$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится за пределами корней.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{61}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{61}}{2}, +\infty)$.