Номер 138, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $\sqrt{x} \ge 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

Теперь решим само неравенство. Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 2) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x})^2 \ge 2^2$

$x \ge 4$

Сравним полученное решение с ОДЗ. Условие $x \ge 4$ полностью удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, решением является $x \ge 4$.

Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x} < 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x \ge 0$.

Возведем обе части неравенства в квадрат. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства не изменится:

$(\sqrt{x})^2 < 5^2$

$x < 25$

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 25 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является двойное неравенство $0 \le x < 25$.

Ответ: $x \in [0, 25)$.

3) Решим неравенство $\sqrt[3]{x} > 3$.

Область допустимых значений для кубического корня — все действительные числа, так как корень нечетной степени можно извлекать из любого числа (как положительного, так и отрицательного). ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части неравенства в третью степень. При возведении в нечетную степень знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[3]{x})^3 > 3^3$

$x > 27$

Так как ОДЗ не накладывает ограничений, решение неравенства — $x > 27$.

Ответ: $x \in (27, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt[3]{x} \le 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для кубического корня — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства не меняется:

$(\sqrt[3]{x})^3 \le 2^3$

$x \le 8$

Это и есть окончательное решение, поскольку ОДЗ не вносит дополнительных ограничений.

Ответ: $x \in (-\infty, 8]$.