Номер 152, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для определения четности или нечетности функции $y=f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).
Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

1) $f(x) = x^3$
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная функция.

2) $f(x) = x^{-4}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{x^4}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \frac{1}{x^4} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[7]{x}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{-x} = -\sqrt[7]{x}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$f(-x) = -\sqrt[7]{x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная функция.

4) $f(x) = (1+x)^{\frac{7}{9}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (1+(-x))^{\frac{7}{9}} = (1-x)^{\frac{7}{9}}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = (1-x)^{\frac{7}{9}} \neq f(x) = (1+x)^{\frac{7}{9}}$.
$f(-x) = (1-x)^{\frac{7}{9}} \neq -f(x) = -(1+x)^{\frac{7}{9}}$.
Например, при $x=1$, $f(1) = 2^{\frac{7}{9}}$, а $f(-1) = 0$. Очевидно, что $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

5) $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[8]{x^5} + 2$.
1. Область определения. Поскольку показатель корня (8) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$.
Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=1$ принадлежит области, а точка $x=-1$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

6) $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[5]{x^6} - 1$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени (5) извлекается из любого действительного числа, а $x^6$ определено для всех $x$. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{(-x)^6} - 1 = \sqrt[5]{x^6} - 1 = x^{\frac{6}{5}} - 1$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = x^{\frac{6}{5}} - 1 = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

7) $f(x) = (3-x)^{-\frac{5}{6}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{(3-x)^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{(3-x)^5}}$.
1. Область определения. Поскольку показатель корня (6) четный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(3-x)^5 \ge 0$, что эквивалентно $3-x \ge 0$ или $x \le 3$. Так как выражение находится в знаменателе, оно не должно быть равно нулю, поэтому $(3-x)^5 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 3)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=-4$ принадлежит области, а точка $x=4$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

8) $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.
1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x^{\frac{4}{7}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Корень 7-й степени определен для любого действительного числа.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 1 - (-x)^{-\frac{4}{7}} = 1 - \frac{1}{(-x)^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{(-x)^4}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

9) $f(x) = (x+2)^{-\frac{3}{5}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{(x+2)^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+2)^3}}$.
1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $(x+2)^{\frac{3}{5}} \neq 0$, что означает $x+2 \neq 0$ или $x \neq -2$. Корень 5-й степени определен для любого действительного числа.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=2$ принадлежит области, а точка $x=-2$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).