Номер 111, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ будем использовать формулу для сложных радикалов (вложенных корней):

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2-B}}{2}}$

Эта формула особенно удобна, когда $A^2-B$ является полным квадратом.

Другой распространенный метод — преобразование подкоренного выражения к виду $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ и последующее представление его в виде полного квадрата $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = (x+y) \pm 2\sqrt{xy}$. Тогда $\sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ (при $x>y$ для знака минус).

1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Теперь ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=5$ и $xy=6$. Очевидно, что это числа 3 и 2. Таким образом, мы можем записать: $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 2} + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Следовательно: $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

2) $\sqrt{6 - \sqrt{20}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=6$ и $xy=5$. Это числа 5 и 1. Таким образом, мы можем записать: $6 - 2\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} - 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{6 - \sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$ (поскольку $\sqrt{5} > 1$, результат положительный). Ответ: $\sqrt{5} - 1$.

3) $\sqrt{7 - \sqrt{13}}$

Здесь перед внутренним радикалом нет множителя 2, поэтому применим общую формулу $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ с $A=7, B=13$. Вычислим $\sqrt{A^2-B}$: $\sqrt{7^2 - 13} = \sqrt{49 - 13} = \sqrt{36} = 6$. Подставляем в формулу: $\sqrt{7 - \sqrt{13}} = \sqrt{\frac{7+6}{2}} - \sqrt{\frac{7-6}{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(\sqrt{13}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{26} - \sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{26} - \sqrt{2}}{2}$.

4) $\sqrt{8 + \sqrt{28}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=8$ и $xy=7$. Это числа 7 и 1. Таким образом, мы можем записать: $8 + 2\sqrt{7} = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} + 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{8 + \sqrt{28}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$. Ответ: $\sqrt{7} + 1$.

5) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$

Выражение уже имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=8$ и $xy=15$. Это числа 5 и 3. Таким образом, мы можем записать: $8 - 2\sqrt{15} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$. Следовательно: $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

6) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$

Преобразуем выражение, чтобы использовать общую формулу. Внесем 3 под знак корня: $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Получаем выражение $\sqrt{6 + \sqrt{27}}$. Применим формулу $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ с $A=6, B=27$. Вычислим $\sqrt{A^2-B}$: $\sqrt{6^2 - 27} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3$. Подставляем в формулу: $\sqrt{6 + \sqrt{27}} = \sqrt{\frac{6+3}{2}} + \sqrt{\frac{6-3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$.

7) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=10$ и $xy=21$. Это числа 7 и 3. Таким образом, мы можем записать: $10 - 2\sqrt{21} = 7 - 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$. Следовательно: $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

8) $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=11$ и $xy=10$. Это числа 10 и 1. Таким образом, мы можем записать: $11 - 2\sqrt{10} = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{10} - 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 1)^2} = \sqrt{10} - 1$ (поскольку $\sqrt{10} > 1$). Ответ: $\sqrt{10} - 1$.