Номер 112, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Область допустимых значений переменной $m$: $m > 0$ и $m \neq 9$.

1. Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$, которое по формуле разности квадратов равно $m-9$.

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3) - \sqrt{m}(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} = \frac{(m+3\sqrt{m}) - (m-3\sqrt{m})}{m-9} = \frac{m+3\sqrt{m} - m+3\sqrt{m}}{m-9} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9}$

2. Теперь выполним деление. Заметим, что знаменатель второй дроби $m-6\sqrt{m}+9$ является полным квадратом разности: $(\sqrt{m}-3)^2$.

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} : \frac{2m}{m-6\sqrt{m}+9}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} \cdot \frac{m-6\sqrt{m}+9}{2m} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m}$

3. Разложим знаменатель первой дроби $m-9$ на множители, используя формулу разности квадратов, и проведем сокращение:

$\frac{6\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m} = \frac{6\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m}-3)^2}{2m \cdot (\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)}$

Сокращаем общие множители: $2$, $(\sqrt{m}-3)$ и $\sqrt{m}$ (учитывая, что $m = (\sqrt{m})^2$).

$\frac{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{\sqrt{m}} \cdot (\sqrt{m}-3) \cdot \cancel{(\sqrt{m}-3)}}{\cancel{2} \cdot \sqrt{m} \cdot \cancel{\sqrt{m}} \cdot \cancel{(\sqrt{m}-3)} \cdot (\sqrt{m}+3)} = \frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$