Номер 91, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления $8^{\frac{1}{3}}$ используем свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае это кубический корень из 8.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Также можно представить 8 как $2^3$ и воспользоваться свойством $(a^x)^y = a^{xy}$:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2.

2) Для вычисления $16^{\frac{3}{4}}$ используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Находим корень четвертой степени из 16. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Теперь возводим результат в третью степень: $2^3 = 8$.
Альтернативный способ: представить 16 как $2^4$.
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.

3) Для вычисления $64^{-\frac{1}{2}}$ используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень: $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$.
Следовательно, $64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) Для вычисления $0,25^{-\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь используем свойство отрицательной степени:
$0,25^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}$.
Вычисляем знаменатель: $(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Получаем: $\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Другой способ: $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{(-1) \cdot (-\frac{1}{2})} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

5) Для вычисления $0,36^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением дробной степени, что равносильно извлечению квадратного корня.
$0,36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,36}$.
Так как $0,6^2 = 0,36$, то $\sqrt{0,36} = 0,6$.
Можно также представить в виде дроби: $0,36^{\frac{1}{2}} = (\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

6) Для вычисления $(-27)^{-\frac{4}{3}}$ используем свойство отрицательной степени.
$(-27)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-27)^{\frac{4}{3}}}$.
Далее вычисляем знаменатель: $(-27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{-27})^4$.
Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$.
Теперь возводим -3 в четвертую степень: $(-3)^4 = 81$.
Таким образом, результат равен $\frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

7) Для вычисления $(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Теперь вычисляем значение выражения: $(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$.
$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Результат можно оставить в виде дроби или перевести в десятичную: $\frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

8) Для вычисления $32^{-\frac{1}{5}}$ используем свойство отрицательной степени.
$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$.
$32^{\frac{1}{5}}$ — это корень пятой степени из 32.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.