Номер 85, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{a^3\sqrt{a}} \cdot \sqrt[3]{a\sqrt{a}}$

Для упрощения данного выражения представим корни в виде степеней с рациональными показателями и воспользуемся свойствами степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Сначала упростим первый множитель: $\sqrt{a^3\sqrt{a}} = \sqrt{a^3 \cdot a^{1/2}} = \sqrt{a^{3 + 1/2}} = \sqrt{a^{7/2}} = (a^{7/2})^{1/2} = a^{7/4}$.

Теперь упростим второй множитель: $\sqrt[3]{a\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a^1 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[3]{a^{1 + 1/2}} = \sqrt[3]{a^{3/2}} = (a^{3/2})^{1/3} = a^{3/6} = a^{1/2}$.

Перемножим полученные выражения: $a^{7/4} \cdot a^{1/2} = a^{7/4 + 1/2} = a^{7/4 + 2/4} = a^{9/4}$.

Представим результат в виде корня: $a^{9/4} = \sqrt[4]{a^9} = \sqrt[4]{a^8 \cdot a} = a^2\sqrt[4]{a}$.

Ответ: $a^2\sqrt[4]{a}$.

2) $\sqrt[4]{b^3\sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}}$

Используем тот же подход, что и в предыдущем примере, представляя корни в виде степеней.

Упростим первый множитель: $\sqrt[4]{b^3\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[4]{b^3 \cdot b^{2/3}} = \sqrt[4]{b^{3 + 2/3}} = \sqrt[4]{b^{11/3}} = (b^{11/3})^{1/4} = b^{11/12}$.

Упростим второй множитель: $\sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^2 \cdot b^{1/4}} = \sqrt[3]{b^{2 + 1/4}} = \sqrt[3]{b^{9/4}} = (b^{9/4})^{1/3} = b^{9/12} = b^{3/4}$.

Перемножим результаты: $b^{11/12} \cdot b^{3/4} = b^{11/12} \cdot b^{9/12} = b^{11/12 + 9/12} = b^{20/12} = b^{5/3}$.

Запишем ответ в виде корня: $b^{5/3} = \sqrt[3]{b^5} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b^2} = b\sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $b\sqrt[3]{b^2}$.

3) $\sqrt[4]{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}}$

Для удобства введем замену $x = \frac{a}{b}$. Выражение примет вид: $\sqrt[4]{x\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x\sqrt[4]{x}}$.

Преобразуем каждый множитель в степенную форму.

Первый множитель: $\sqrt[4]{x\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[4]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/4} = x^{3/8}$.

Второй множитель: $\sqrt{x\sqrt[4]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{5/4}} = (x^{5/4})^{1/2} = x^{5/8}$.

Перемножим полученные степени: $x^{3/8} \cdot x^{5/8} = x^{3/8 + 5/8} = x^{8/8} = x^1 = x$.

Вернемся к исходным переменным, подставив $x = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

4) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3\sqrt{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}$

Это более сложное выражение, но метод решения тот же. Упростим каждый множитель по отдельности, двигаясь от внутреннего корня к внешнему.

Упростим первый множитель: $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3\sqrt{a}}} = \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3 \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^{7/2}}} = \sqrt[3]{a \cdot (a^{7/2})^{1/3}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{7/6}} = \sqrt[3]{a^{1+7/6}} = \sqrt[3]{a^{13/6}} = (a^{13/6})^{1/3} = a^{13/18}$.

Упростим второй множитель: $\sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a\sqrt{a}}} = \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a^{3/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot (a^{3/2})^{1/3}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{5/2}} = (a^{5/2})^{1/4} = a^{5/8}$.

Теперь перемножим полученные выражения: $a^{13/18} \cdot a^{5/8} = a^{13/18 + 5/8}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 8 это 72. $\frac{13}{18} + \frac{5}{8} = \frac{13 \cdot 4}{72} + \frac{5 \cdot 9}{72} = \frac{52 + 45}{72} = \frac{97}{72}$.

Таким образом, результат равен $a^{97/72}$.

Представим результат в виде корня: $a^{97/72} = \sqrt[72]{a^{97}} = \sqrt[72]{a^{72} \cdot a^{25}} = a\sqrt[72]{a^{25}}$.

Ответ: $a\sqrt[72]{a^{25}}$.