Номер 84, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}}$.
Поскольку оба слагаемых в выражении положительны, то и их сумма $x$ также будет положительна ($x > 0$).
Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней:
$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}})^2 + 2\sqrt{47 - 4\sqrt{33}}\sqrt{47 + 4\sqrt{33}} + (\sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$
$x^2 = (47 - 4\sqrt{33}) + 2\sqrt{(47 - 4\sqrt{33})(47 + 4\sqrt{33})} + (47 + 4\sqrt{33})$
Взаимно уничтожим слагаемые $-4\sqrt{33}$ и $+4\sqrt{33}$. Выражение под корнем свернем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x^2 = 47 + 47 + 2\sqrt{47^2 - (4\sqrt{33})^2}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - (16 \cdot 33)}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 528}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{1681}$
Так как $41^2 = 1681$, то $\sqrt{1681} = 41$.
$x^2 = 94 + 2 \cdot 41 = 94 + 82 = 176$
Поскольку мы установили, что $x > 0$, извлекаем арифметический квадратный корень:
$x = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{11} = 4\sqrt{11}$.
Ответ: $4\sqrt{11}$

2) Упростим каждый из сложных корней, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Рассмотрим первый член $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}}$. Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=31$ и $2ab = 6\sqrt{26}$, из чего следует, что $ab=3\sqrt{26}$.
Можно предположить, что $a=3\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{13}$. Проверим произведение: $ab = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{13} = 3\sqrt{26}$. Это верно.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (3\sqrt{2})^2+(\sqrt{13})^2 = 9 \cdot 2 + 13 = 18+13=31$. Это также верно.
Таким образом, $31 - 6\sqrt{26} = (3\sqrt{2} - \sqrt{13})^2$.
Тогда $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} = \sqrt{(3\sqrt{2} - \sqrt{13})^2} = |3\sqrt{2} - \sqrt{13}|$. Поскольку $(3\sqrt{2})^2=18$, а $(\sqrt{13})^2=13$, то $3\sqrt{2} > \sqrt{13}$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $3\sqrt{2} - \sqrt{13}$.
Аналогично, $31 + 6\sqrt{26} = (3\sqrt{2} + \sqrt{13})^2$, и $\sqrt{31 + 6\sqrt{26}} = \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13})^2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{13}$.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$(3\sqrt{2} - \sqrt{13}) - (3\sqrt{2} + \sqrt{13}) = 3\sqrt{2} - \sqrt{13} - 3\sqrt{2} - \sqrt{13} = -2\sqrt{13}$.
Ответ: $-2\sqrt{13}$

3) Для решения этого примера можно раскрыть скобки, разделив каждый член на делитель $\sqrt[3]{7}$.
$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}} - \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} + \frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}$
Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$= \sqrt[3]{\frac{7}{7}} - \sqrt[3]{\frac{189}{7}} + \sqrt[3]{\frac{56}{7}}$
Выполним деление под знаками корней:
$= \sqrt[3]{1} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8}$
Извлечем кубические корни из полученных чисел:
$= 1 - 3 + 2 = 0$.
Ответ: $0$

4) Упростим каждый множитель в выражении по отдельности.
Рассмотрим первый множитель $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$. Попробуем представить подкоренное выражение в виде полного куба, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Проверим, является ли $5\sqrt{2}-7$ кубом выражения $(\sqrt{2}-1)$:
$(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2 + 3\sqrt{2} - 1 = (2\sqrt{2}+3\sqrt{2}) - (6+1) = 5\sqrt{2}-7$.
Предположение верно. Следовательно, $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} = \sqrt{2}-1$.
Рассмотрим второй множитель $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Проверим, является ли $3+2\sqrt{2}$ квадратом выражения $(\sqrt{2}+1)$:
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2}$.
Предположение верно. Следовательно, $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.
Теперь перемножим упрощенные выражения:
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$
Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$