Номер 81, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

81. 1) $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$

Для решения используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу сокращенного умножения "разность квадратов" $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37})} = \sqrt[3]{8^2 - (\sqrt{37})^2} = \sqrt[3]{64 - 37} = \sqrt[3]{27}$.

Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$

Решение аналогично предыдущему примеру. Применяем свойство произведения корней и формулу разности квадратов.

$\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}} = \sqrt[3]{(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41})} = \sqrt[3]{7^2 - (\sqrt{41})^2} = \sqrt[3]{49 - 41} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: $2$.

3) $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0,2^{-2}$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для первого множителя используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} + (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} + (3 + \sqrt{5})$.

Упрощаем выражение: $3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} + 3 + \sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 10$.

Теперь вычислим второй множитель. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$0,2^{-2} = (\frac{2}{10})^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$.

Наконец, перемножим полученные результаты:

$10 \cdot 25 = 250$.

Ответ: $250$.

4) $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для первого множителя используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6 - \sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{6 + \sqrt{11}} + (\sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (6 - \sqrt{11}) - 2\sqrt{(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})} + (6 + \sqrt{11})$.

Упрощаем выражение: $6 - \sqrt{11} - 2\sqrt{6^2 - (\sqrt{11})^2} + 6 + \sqrt{11} = 12 - 2\sqrt{36 - 11} = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.

Теперь вычислим второй множитель. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: $3$.